Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Отметим, что отображение F не обязательно должно быть линейным. Таким же образом мы будем трактовать и функционалы от нескольких функций F[ƒ,g,…]. Функционалы можно рассматривать как обобщение понятия обычной функции в следующем смысле. Разобьем пространство значений⁵⁹⁾ x на N ячеек, и пусть в каждой ячейке находится единственное значение x_j. Тогда функционал F[ƒ] представляет собой предел, к которому стремится функция F_N(ƒ₁,…,ƒ_j,…), где ƒ_j≡ƒ(x_j), при стремлении размера ячейки к нулю. Производная ∂F_N/∂ƒ_j определяется формулой

⁵⁹⁾ Мы берем это пространство таким, что оно имеет конечный размер L. Иначе необходимо выполнить дополнительный предельный переход L→∞

∂F_N(ƒ₁,…,ƒ_j…)

∂ƒ_j

=

lim

^ε→0

F_N(ƒ₁,…,ƒ_j+ε,…) - F_N(ƒ₁,…,ƒ_j,…)

ε

,

т.е. Она может быть получена сдвигом ƒ_i→ƒ_i+εδ_ij. Поэтому мы определяем функциональную производную как предел

δF[ƒ]

δƒ(y)

=

lim

^ε→0

F[ƒ+εδ_y]-F[ƒ]

ε

,

где δ_y есть δ-функция, обращающаяся в бесконечность в точке y: δ_y(x)=δ(x-y). Важный частный случай представляет собой функционал, задаваемый интегралом

F[ƒ]=

∫