Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 6. Цель этой книги

Выше мы установили форму, в которой следует выражать законы квантовой механики, т.е. ввели амплитуду вероятности и в общих чертах наметили путь к её вычислению. Однако возможны и другие формулировки. При более привычном подходе к квантовой механике амплитуду вероятности вычисляют, решая волновое уравнение определённого типа. В случае частиц с малой скоростью оно называется уравнением Шрёдингера. Более точным уравнением, справедливым и для тех электронов, чья скорость сколь угодно близка к скорости света, является уравнение Дирака. В этом случае амплитуда вероятности представляет собой некоторое гиперкомплексное число. В нашей книге мы не будем рассматривать уравнение Дирака и не будем также исследовать эффекты, связанные со спином. Вместо этого ограничим своё внимание электронами низких энергий и немного продвинемся в направлении квантовой электродинамики путём изучения фотонов — частиц, поведение которых определяется уравнениями Максвелла.

Правила вычисления амплитуды вероятности для нерелятивистских задач мы выводим в этой книге несколько непривычным способом. Иногда, особенно при первом знакомстве с основами квантовой механики, этот способ может быть более предпочтителен; в других же случаях, например при выполнении расчётов в простых задачах и при изучении уже имеющейся литературы, он не даёт преимуществ.

Традиционному подходу, основанному на уравнении Шрёдингера, посвящено уже много книг; взгляды же, которые будут изложены ниже, представлены лишь в сокращённом виде в нескольких журнальных статьях [1]. Главная цель нашей книги — собрать работы, выполненные в этом направлении, в один том, где их можно изложить достаточно ясно и подробно. Такая книга оказалась бы полезной для студентов, интересующихся этими вопросами.

Чтобы остаться в разумных границах, мы не будем делать полного построения квантовой механики. Вместо этого всякий раз, когда дальнейшее разъяснение лучше всего было бы проводить с помощью обычных аргументов, имеющихся в других книгах, мы будем отсылать читателя к этим источникам. Вследствие такой неполноты наша книга не является замкнутым учебником по квантовой механике. Она может служить лишь введением в её основные понятия и должна использоваться совместно с другой книгой, где излагались бы уравнение Шрёдингера, матричная механика и различные приложения квантовой механики.

С другой стороны, освободившееся место мы используем для рассмотрения приложений применяемых в квантовой механике математических методов к другим областям физики.

Отыскание строгого метода вычисления амплитуд вероятностей процессов с участием таких (представляющихся сейчас более сложными) частиц, как нуклоны и мезоны, является задачей будущего. Конечно, можно надеяться, что после открытия неизвестных нам ещё законов мы получим возможность вычислять амплитуды для любых процессов. Однако сегодняшняя ситуация, видимо, не аналогична той, которая предшествовала появлению квантовой механики.

В двадцатые годы многие предполагали, что неправильными являются фундаментальные теоремы и концепции классической механики, поскольку в то время существовало много парадоксов. Общие законы могли быть получены независимо от рассматривавшихся конкретных сил. Некоторые из этих законов оказались несправедливыми. Например, каждая спектральная линия указывала на наличие в атоме отдельной степени свободы; при температуре