Дважды два = икс?

– Числовая счётная линия.

– Прямочисленная линия.

– Она – рабочая линия.

– Числовая ось!..

– Что такое ось?

– Это линия, которая что-то на себе держит. Колёса, например. А здесь держит числа.

Учитель улыбается: молодцы!..

Ну как не восхититься образной детской мыслью, раскрепощённой поиском и радостью труда!

Найден не только точный термин, найдено определение красивое, разумное, ясное. Числовая ось держит числа!

В конце концов для него станет очевидным, что любой шаг на луче может соответствовать любому числу, которое он обозначит буквой, и тогда предыдущие и последующие числа будут отличаться на единицу в меньшую или большую сторону.

Но самое важное, что числовой ряд сразу возникает перед ним как бесконечный и поэтому обозначение и запись чисел становится проблемой, которую надо решать. Поиск ответа приведёт ребёнка к счёту группами. Например, десятками. А далее новая проблемная ситуация: как выйти за пределы 10 десятков. И перед глазами ребёнка раскрывается новая математическая реальность – система разрядов, в которой каждый последующий разряд содержит 10 единиц предыдущего.

Так всё более уточняется и обобщается исходное общее отношение между величинами, выражаемое числом, и способ его обнаружения детьми. И когда во втором классе наступает самый драматический момент всего начального курса обучения математике – переход к дробным числам, то для детей это не абсолютно новое явление, требующее пересмотра их прежних представлений о целых числах, а лишь дальнейшая конкретизация понятия числа.

Свойства дроби легко обнаруживаются детьми в уже привычной работе с разными мерками при одной и той же величине. Вначале они убеждаются, что любой остаток можно выразить числом при помощи новой единицы, меньшей, чем задана раньше. Но с двумя разными мерками работать неудобно, значит, надо соотнести их между собой, выразить остаток через старую мерку, которая берётся за целое.

При сравнении дробей с разными знаменателями детям становится очевидно, что увеличивая, например, знаменатель, мы берём меньшую часть старой единицы. Естественно, приходят они и к раскрытию основного свойства дроби: изменить мерку – это значит изменить и числитель и знаменатель в одно и то же число раз. Правило «если числитель и знаменатель изменяются в одно и то же число раз, величина дроби не изменяется» они, естественно, формулируют сами. Им нет необходимости искать его в учебнике. Правило – результат их мысли, действия, работы с понятием числа, которое всё более обретает черты подлинной научности.

Вот он, фундамент всего здания школьного математического образования, утверждает В. Давыдов. Целью такого образования является создание развёрнутой и полноценной концепции действительного числа, в основе которого лежит понятие о величине.

Мы убедились, как оригинально и последовательно решается первая задача: перевести житейские математические представления детей на рельсы научных понятий. Предмет математики – количественные отношения. Увести ребёнка от непосредственности восприятия, от конкретных тел в область математической абстракции, но чтобы он сохранил с ними живую, действительную связь, – вот задача, которую надо было решить в данном эксперименте.

Понятие числа, которое получает ребёнок, для него оказывается необходимым и сознательным. Это сознательное понятие. У него формируется новый «математический» взгляд на вещи – при необходимости он может посмотреть на них и с этой количественной точки зрения. Вещь многогранна, количественная сторона – лишь одна её сторона.

Это не утилитарный взгляд, а научный, объективный, тот уровень абстрактного мышления, который ориентируется на скрытые от прямого наблюдения зависимости. Но тогда как следствие такого обучения обнаруживается удивительная картина: способность осуществлять формальные операции, возникновение которой Ж. Пиаже относил к 11-12 годам, здесь формируется уже в семилетнем возрасте: дети рассуждают о сложных математических отношениях без предметов в чисто словесном плане.

Феномены Пиаже преодолеваются как бы сами собой в ходе принципиально другого способа обучения – теоретического. Упорный труд коллектива психологов Ф. Боданского, Г. Микулиной, Г. Минской, Л. Фридмана и других под руководством В. Давыдова доказал такую возможность. Правда, пока лишь в результате многолетнего психологического эксперимента.

Загадки хитрой фонемы

– Cкажи, Коля, зачем нужна математика?

Щуплый третьеклассник едва заметно пожимает плечами, на миг задумывается.

– Математика – не самая главная наука, – медленно говорит он, – хотя без неё ничего не может быть.

Ребёнок делает небольшую паузу, как бы давая нам время осознать всю парадоксальность высказанной им мысли. Он раскрывает её последовательно и убеждённо, вкладывая в каждое слово мудрость и наивность детского восприятия мира.

– Не было бы математики – не плавали бы корабли… Даже парты делали бы разные. Не было бы математики… Я не знаю, что бы тогда было!..

– Ты сказал: математика – не самая главная наука, – уточняем мы. – А какая наука, по-твоему, самая главная?

– Самая главная наука – это язык, умение общаться.

Математика и язык, язык и математика… Два школьных предмета, которые сопровождают детей на протяжении всех долгих 10 лет школьной жизни. В первом классе они стоят рядом, ещё почти не отличаясь друг от друга простотой и элементарностью операций, которые проделывает ребёнок на уроках.

– Чем ты занимаешься в школе?

– Я учусь писать и считать!..

В общем, для него это практически одно и то же: выделяется форма знания, а не специфика его содержания.

Но чем дальше продвигается ребёнок по пути обучения, тем больше расходятся рельсы математики и языка. Уже для десятилетнего школьника математика и язык – это два мира, две планеты, не имеющие между собой ничего общего. Один мир – абстрактных знаков, лишённых плоти и крови, как остовы обгоревших деревьев. Другой – живая неупорядоченная стихия родной речи, которую тщетно пытаются привести в какое-то подобие логики, неизвестно зачем и кому нужной. Очевидно, поэтому все первоклассники любят оба предмета одинаково, а все семиклассники любят либо язык, либо математику, либо не любят их вообще в зависимости от наличия математических или лингвистических способностей. Ответ «Люблю оба предмета» для них столь же редок, как редок математический или лингвистический талант в традиционных формах обучения.

Но вот «экспериментальный» третьеклассник свёл оба предмета вместе, причём свёл по сущности их функционирования. Что же в действительности объединяет математику и язык и как это общее становится сознанием маленького ребёнка?

Чтобы найти ответ на вопрос, у нас один путь: вновь занять место на задней парте, вернуться на время в детство, отрешившись по возможности от груза добытых за долгие годы знаний, попытаться, как говорит А. Эйнштейн, ещё раз взглянуть на мир глазами ребёнка.

В ясный сентябрьский день начинаем наше второе путешествие в мир психологического эксперимента, реализующего на другом материале – языковом – одну и ту же идею восхождения по лестнице: от единого, нерасчленённого начала к сложному, составленному из простых элементов, от «клеточки» языка к её конкретному и многообразному воплощению.

Первые уроки русского языка. Дети приготовили всё необходимое: буквари, тетради, ручки. Они прекрасно знают, чем будут сегодня заниматься – писать слова, предложения. Но учительница ничего не рассказывает, не объясняет, не просит разложить заготовленное школьное богатство на парте. Наоборот, она сама спрашивает детей, задаёт им вопросы, как будто сама ничего не знает и они должны ей всё объяснять.

– Дети, может мне кто-нибудь сказать, что такое слово? Я шла к вам в школу и всё забыла. Из чего оно состоит? Кто мне поможет вспомнить?

Весь класс жаждет оказать учительнице помощь: она, конечно, шутит, но всё равно показать себя в первые же дни школьной жизни с наилучшей стороны – кто же откажется?