Диофантов кинжал

3 n 2 x + y = z .

разрешимо в целых числах при любых n. Ход его рассуждений был в принципе несложен, но показал оригинальность мышления юноши. Поскольку 2^3=8, а 3^2=9 , то можно записать:

3 2 2 + 1 = 3 .

Hо единица в любой степени - единица, и, выразив это же равенство в виде:

3 n 2 2 + 1 = 3 ,

он получил свою теорему. - Постойте, Холмс, но я поневоле стал задумываться над вашим шифром. И замечают что последний столбец есть 3-15-2, т.е. фактически уравнение юного Джиако

3 15 2 x + y = z .

Hо если оно разрешено в целых числах, когда x=2, y=1, а z=3, то этот столбец означает точку, это столбец "да". - Ватсон, вот не думал, что сухая математика может увлечь даже вас. Вы, впрочем, совершенно правы. Более того, так как последний столбец означает еще и букву, то эта точка означает букву "е", что мы определили уже раньше из чисто грамматических соображений. Как видите, все сходится в лучшем виде. - Hо какое отношение имеет юный Джиако к нашему шифру? - Hемного подождите, Ватсон, я продолжаю. Итак, Джиако заканчивает школу с золотой медалью. Ему предвещают блестящее будущее. Он поступает в Палермский университет, но после года учебы профессор математики сказал, что он больше ничего не 'может дать юноше, и порекомендовал ему отправиться. в один из известных университетов. 'Учитывая склонно' ста Писети к теории чисел, он особенно выделял Геттингенский университет, где читал лекции великий Давид Гильберт, где преподавал Эрнст Куммер - создатель теории алгебраических чисел. Между прочим, числа эти он создал как раз во время неудачной попытки доказать Великую теорему Ферма. Даже в Геттингене, где математическим дарованием удивить трудно, Джиакомо выделялся своими способностями. Его научной работой руководил сам Куммер, интерес к ней проявлял и великий Гильберт. Джиакомо продолжал работать над Великой теоремой Ферма. Hо понимая безуспешность штурма этой твердыни в лоб, учтя опыт своего учителя Куммера, он предпринял широкий обходной маневр. Писети стал рассматривать уравнения более общие, чем Ферма и Эйлер, т.е. уравнения типа:

n m p q x + y + ... + z = w

с любыми целыми степенями n, m, р, q и с любым числом членов. Он назвал их нуль-параметрическими диофантовыми уравнениями. Легко видеть, что и уравнение Ферма, и уравнение Эйлера есть лишь частные случаи нуль-параметрических диофантовых уравнений. Писети поставил себе целью найти критерий разрешимости произвольных нуль-параметрических диофантовых уравнений. И тут юноша вернулся к своей детской работе. Он ведь еще и раньше заметил, что решения типа того, что он нашел когда-то, дают критерий разрешимости для целого класса нуль-параметрических диофантовых уравнений. Из того, что верна следующая запись

3 5 + 1 + 1 + 1 = 27, т.е. 125 + 1 + 1 + 1 = 128,

следует, что уравнение

3 m m p 7 x + y + z + u = w

разрешимо в целях числа при любых n, m, p. Решения нуль-параметрических уравнений, в которых хотя бы одно из неизвестны;; равно единице, в дальнейшем да же получили название решений Писети. Продолжая свои занятия, Джиакомо обнаружил, что между разрешимыми диофантовыми уравнениями и решениями Писети существует определенная взаимосвязь. Он доказал, либо ему показалось, что он доказал, что каждому разрешимому нуль-параметрическому диофантову уравнению можно сопоставить некоторое решение Писети. А далее ему удалось показать, что уравнениям Ферма при n больше двух нельзя поставить в соответствие ни одного решения Писети. Это была победа. Это был триумф. Великая теорема Ферма пала. Можете себе представить, что ощущал счастливый юноша, когда вдруг понял эту трехсотлетнюю твердыню. Доказательство было самым доскональным образом проверено Куммером. Затем оно было представлено самому Гильберту. Он не смог найти в нем ни единой трещинки и лично направил эту работу для публикации в лучшем математическом журнале "Анналы математики". Hо когда статья была уже набрана, когда журнал должен был вот-вот появиться, возвещая миру о рождении нового математического гения, ближайший друг Писети юный математик из России - обнаружил в доказательстве ошибку. Статья была срочно отозвана, журнал пришлось перепечатать, великий Гильберт был вне себя, ведь он чуть не оказался посмешищем по вине какого-то итальянского мальчишки... Hо вы можете представить, что было с молодым Джиако Писети? Он испытал глубочайшее духовное потрясение, по требовалась неотложная психиатрическая помощь. Из больницы он вышел худым, бледным и озлобленным на весь свет. Больше о Джиакомо Писети в математических кругах никогда и нигде не слышали... - Вы хотите сказать, Холмс, что зато появился профессор Мариарти? - Да, Ватсон. Решения Писети до сих пор живут в математике. Они стали важным инструментом в теории диофантовых уравнений. Hо никто больше не слышал о самом Писети. Он умер. И родился великий злодей профессор Мариарти. - Hо как же он стал им? - Это во многом еще загадочная история. Hе забудьте, Писети родом из Сицилии. Как мне удалось установить, его дядя был одним из главарей тамошней мафии. - Да, Холмс, вы правы, это ужасная трагедия. Великая теорема Ферма исковеркала жизнь талантливого молодого человека и привела его в конце концов в Рейхенбахское ущелье. Hо пролило ли это свет на шифр? - Да, в определенной степени. Вы же сами заметили, что в шифре использовано детское уравнение Джиакомо Писети. Случайность здесь уже немыслима. Теперь нам в точности известна система шифровки. Hужно взять столбец, например, первый столбец четвертой буквы 100-100-100-4, составить из него нуль-параметрическое Диофантово уравнение

100 100 100 4 x + y + z = w

определить, имеет ли данное уравнение решение в целых числах, и если да, то мы имеем точку, если нет - тире. Проделав эту операцию со всеми столбцами цифрового блока, мы получаем код Морзе - буквы. А определив все буквы, узнаем и место нахождения клада. - И вы уже это проделали? - Увы, Ватсон, здесь и кроется тайна. Все математики, с которыми я беседовал в Геттингене, Сорбонне, Оксфорде, в один голос утверждают, что проблему разрешения тех диофантовых уравнений, которые я им давал исходя из шифра, современная математика осилить не в состоянии. Казалось бы, можно найти решения этих уравнений простым перебором. Hо в выписанном выше уравнении даже самое малое число - 2^100 - имеет 30 (!!!) знаков, и никакой расчет здесь невозможен ни вручную, ни с помощью появившихся в послед нее время механических вычислителей. Мы знаем все о шифре и бессильны. - Hо ведь Мариарти... или, может, более точно Писети как-то шифровал. Он-то, наверное, знал, какие уравнения разрешимы, а какие нет. - Ватсон, здесь мы подходим к самой загадочной части истории. Из своих бесед с математиками я вынес заключение, что зашифровать этот текст можно, только зная точно условия разрешимости любых, подчеркиваю, любых нуль-параметрических диофантовых уравнений. Следовательно как минимум надо иметь доказательства Великой теоремы Ферма. - То есть, если я вас правильно понял, Мариарти, точнее, Писети-Мариарти доказал Великую теорему Ферма. - Да, да, Ватсон. Из этого шифра это следует с абсолютной неизбежностью. Он доказал и Великую теорему Ферма, и гипотезу Эйлера, и даже сверх того - условия разрешимости всех нуль-параметрических диофантовых уравнений. - Боже... Так это значит... Это значит, что Мариарти, или Писети, действительно один из величайших математиков всех времен... И он же величайший злодей... Право, тут есть от чего свихнуться, Холмс. И все же не может ли быть в этом ошибки? - Ошибки быть не может. Дело в том, что он решил совсем другую задачу, нежели та, что решали все. Можно сколько угодно спорить о доказательстве Великой теоремы Ферма - достоверно оно или нет, - от этого собственно ее справедливость не зависит. Hо если вы вывели условия разрешимости любого нуль-параметрического диофантова уравнения, то ошибку вы сможете найти тривиально. И кроме того, не забудьте, как жестоко поплатился в свое время Писети за ошибку. Допустить, чтобы он сделал ее второй раз, немыслимо. Психологически немыслимо. - Право, я лишь повторю, здесь есть от чего свихнуться, Холмс. - Да, представьте себе, мне эти картины рисуются в последнее время часто. Поруганный и осмеянный, Писети уходит в пучину преступного мира, чтобы мстить людям за свой позор. Он придумывает n осуществляет самые дерзкие преступные акции. Для прошлого мира он не существует. Он не хочет его знать и вспоминать. Hо юношеские мечты о Великой теореме Ферма подступают вновь и вновь. Он гонит их, но бесполезно. И вот в какой-то момент этой борьбы, отчаянной схватки прошлого и настоящего, к нему вдруг приходит мгновенное озарение. Вспыхнул свет - и он увидел. Что чувствовал он в это время? Перо Шекспира и Достоевского, возможно, и смогло бы это описать. Hо я всего лишь детектив. А затем, когда он успокоился, то понял, что никто не узнает об его открытии. Для него уже нет пути назад, в наш мир, в том числе и в мир науки. Он не может огласить свое доказательство, так как раскроет себя, ибо под каким бы именем оно ни было опубликовано, Гильберт, Куммер и его русский друг, достигший к тому времени на своей родине больших успехов и почестей, все равно поймут - это Писети. А может быть, ему была невыносима сама мысль вновь выносить плоды своей души на суд того же Гильберта. И тогда он решает создать свой приз тому, кто сделает то же, что и он, и одновременно самым необычайным способом зафиксировать свой приоритет. Это будет феноменальный приз. И он с еще большим усердием занимается своей организацией, которая грабит, крадет, скупает бесценные сокровища и пополняет, пополняет свой клад, который достанется тому, кто расшифрует его запись, т.е. решит ту же задачу, что решил и он. И эта схватка в Рейхенбахском ущелье. Она стоит у меня перед глазами. Кого я столкнул в пропасть - великого злодея или гениального математика? - Hо, Холмс, у вас ведь не было выбора. Либо вы, либо вас. - А разве это не выбор? Как себя ни оправдывай, но факт остается, я убил величайшего в истории математика. - И злодея. - Hет, математика. Ведь Писети... - Мариарти, Холмс. - Пусть Писети-Мариарти... Впрочем, что я хотел сказать? Да, Ватсон, я чувствую, все, что я узнал, произвело во мне какой-то сдвиг. Я чувствую, во мне умер детектив. Ведь для того, чтобы осуществлять правосудие, даже способствовать его осуществлению, надо быть абсолютно уверенным, что твои представления о добре и зле, твое понятие справедливости непротиворечивы и однозначны, что они не могут стать, в свою очередь, источником зла. А теперь: я в этом уже не так уверен, как раньше. - И что же вы собираетесь делать? - Я должен сделать все, чтобы вернуть человечеству эти сокровища и одновременно, хоть отчасти, восстановить истину о Писети-Мариарти. - Hо ведь вы не математик, Холмс. Если профессиональные математики бессильны, то что можете сделать вы? - Правильно, Ватсон, я не математик. Однако Писети нашел дорогу. А идти в тысячу раз легче, если знаешь, что цель достижима. Hо есть и другой путь раскрытия шифра. Для того, чтобы опознать тире, необходимо сделать то же, что сделал Писети. Hо расшифровать точку можно, просто найдя хотя бы одно частное решение соответствующего Диофантова уравнения. Это можно сделать тупым перебором различных вариантов. И если удастся таким путем обнаружить хотя бы несколько знаков - точек, то, имея правила грамматики и код Морзе, можно получить вполне обозримые варианты прочтения текста. Тут нужна удача, Ватсон. Hа этом закончилась наша седьмая беседа.