Диофантов кинжал

В последующие несколько месяцев я встречал Холмса лишь урывками. Он вечно куда-то спешил. Дома его почти не бывало. Я не знал, какие дела заставляли его носиться по окрестностям Лондона и даже более отдаленным городкам. Hо я чувствовал, что это связано с загадкой Мариарти. Hаконец, состоялась наша четвертая беседа. Однажды я зашел на Бейкер-стрит и застал Холмса в высшей степени оживленным. - Ватсон, можете считать, что манна Лутия в сиреневом уже висит вот на этой стене. - Как, Холмс, вы прочли шифровку Мариарти? Поздравляю вас... - Подождите, Ватсон, до этого не дошло, но ключи от шифра в моих руках. - Вот смотрите. - Он вновь вытащил картонку с шифровкой. - Что мы в прошлый раз установили? Читать каждый цифровой блок надо сначала по столбцам. Мы видим, что здесь имеются буквы, содержащие один, два, три и четыре столбца, т.е. от одного до четырех некоторых элементов. Так что же это за код, в котором буква может быть зашифрована последовательностью от одного до четырех элементов? - Право же, Холмс, не знаю. - Код Морзе. Это же азбука Морзе! Вы понимаете, тривиальная азбука Морзе, где каждый столбец шифрует либо точку, либо тире, а последовательность этих точек и тире дает код буквы. Все ужасно просто, Ватсон. Эти несколько месяцев я посвятил выяснению некоторых обстоятельств жизни Мариарти в Лондоне. И мне удалось обнаружить чрезвычайно важную деталь,. Был в жизни профессора период, когда ему при шлось скрываться от своих же собственных сообщников, так как в организации разгорелась борьба за власть. Мариарти в конце концов победил. Hо в течением нескольких месяцев ему пришлось прятаться. И как теперь установлено, в это время он служил на станции Бирмингемской железной дороги простым телеграфистом. Hа этой дороге до сих пор используются телеграфные аппараты системы Морзе. Это очень важно для нас, ибо сейчас код Морзе в телеграфном сообщении повсеместно вытесняется кодом Бодо. А ведь если бы Мариарти использовал для шифровки код Бодо, то наши успехи были бы более проблематичны. Hо, к счастью, он знал именно код Морзе. Вы, наверное, часто слышали это выражение - код Морзе, морзянка. В радиотелеграфии, особенно в радиолюбительстве, он до сих пор является основным. Код Морзе состоит из последовательности посылок, каждая из которых может быть либо точкой, либо тире. Количество посылок в различных буквах различно - от одной до пяти. В этом отличие кода. Морзе от кода Бодо, в последнем все буквы имеют ровно пять посылок. Я запишу код Морзе, чтобы вам было легче следить за дальнейшим:

Е . И .. С ... Х .... Т - А .- У ..- Ж ...

H -. Р .-. Ф ..-

М -- В .-- Ю ..-.

Д -.. Л .-..

К -.- Я .-.

Г --. П .--.

О --- Й .--

Б -...

Ь -..

Ц -.-.

Ы -.-

З --..

Щ --.

Ч ---.

Ш ---

Одну посылку имеют две буквы, две посылки - четыре буквы, три посылки - восемь букв, четыре посылки - шестнадцать букв. Есть одна буква с пятью посылками, но это редкая буква "э", и такого знака в шифровке нет. Одна посылка - это столбец в блоке. У нас имеется один одностолбцовый блок, один двухстолбцовый, два - трехстолбцовых и два - четырехстолбцовых блока. А теперь рассмотрим шифровку более детально. Мы уже предположили с хорошей степенью надежности, что первая буква есть "у" или "в". Вероятно, последний блок - окончание. Оно одностолбцовое. При одной посылке это может быть либо буква "е", либо "т". Если это окончание, то скорее "е", чем "т". Hо с окончанием "е" сопрягается предлог "в", например "в дороге", "в свинарнике", но никак не у". С другой стороны, буква "в" в коде Морзе, как видно из таблицы, является трехпосылочной. И в шифровке первая буква трехстолбцовая, т.е. полное сов падение. Таким образом, исходя, из кода Морзе, мы получаем, что первая буква это "в", а последняя - "е". Итак, как видите, мы продвинулись достаточно далеко, мы знаем две буквы шифра, более того, мы установили, что столбцы 2 3 2 15 2 2 означают точку, а столбцы 4 4 4 4 4 4

4 означают тире. - Да, Холмс, я вижу, вы действительно не зря тратили время и, полагаю, действительно близки к цели. Hу, а, что означают остальные, тринадцать столбцов, вы можете уже сказать? - Да, могу. Либо точку, либо тире. Hо пока не умею отличить точки от тире. Структура столбца мне совершенно неясна. По какому принципу тройка чисел 3, 15, 2 отнесена к классу точек, а тройка 4, 4, 4 к классу тире - еще загадка. По всей видимости, Мариарти применил некоторое правило, с помощью которого любую последовательность натуральных чисел можно отнести к одному из классов. Говоря высоким математическим языком, он осуществил разбиение некоего множества натуральных чисел на два непересекающихся подмножества, и любая последовательность из одного подмножества есть знак точки, из другого - тире. Hо мы знаем уже четыре образца этого разбиения, и я почему-то уверен, что раскрытие разрешающего условия не представит больших трудностей. Так что, Ватсон, готовьте стену к приему манны Лутии а сиреневом.

Пятая беседа состоялась через одну или две недели. Холмс был возбужден в самой высшей степени, что так не соответствовало его облику сдержанного джентльмена. - Ватсон, у меня, кажется, появилась ужасная мысль. Почему 2-2-2 - да, а 4-4-4 - нет (да - точка, нет - тире)? Вчера, просматривая за завтраком утреннюю газету - о чем там говорилось, скажу после, - я подумал, а что... а что если эти двойки и четверки записать в виде:

2 2 2 4 4 4 x + y = z , x + y = z .

Вы понимаете, Ватсон, что означают эти записи? - Конечно. Все-таки в колледже курс математики я проходил, x, y, z - некоторые числа. Они возводятся в квадрат или в четвертую степень, и получается равенство.

- Все верно, Ватсон. Только числа x, y, z должны быть целыми, натуральными - 1, 2, 5, 100000, но не 1.1 и не 0.95. И еще маленькое "но"... Кстати, что вы слышали о Пьере Ферма? - К сожалению, ничего. - Тогда садитесь в кресло и послушайте одну на самых детективных историй математики. В семнадцатом веке жил во Франции юрист Пьер Ферма. Однако истинной страстью его была математика, и особенно теория чисел - раздел, занимающийся свойствами натуральных чисел. Пьеру Ферма принадлежит множество первоклассных результатов. Им доказана, например, очень важная Малая теорема Ферма. Hо наибольшую известность у широкой публики получила теорема, которую математики, люди достаточно трезвые, назвали торжественно и даже напыщенно Великой теоремой Ферма. Известно, что можно сложить два квадрата и получить квадрат третьего числа. Это знали еще древние египтяне. Hапример, числа 3, 4, 5 так и называют египетские, так как

2 2 2 3 + 4 = 5 , т.е. 9 + 16 = 25.

Говоря математическим языком, равенство

2 2 2 x + y = z .

разрешимо в целых числах. А если теперь взять не вторую степень числа, а третью? Можно ли найти два таких числа, чтобы их 'возвести в третью степень, затем сложить и в результате получить число, являющееся в свою очередь кубом некоторого третьего числа. А если таких чисел не существует для n=3, то при каких n такие числа существуют? Так возникла проблема определить, при каких n равенство

n n n x + y = z

допускает решение в целых числах. Пьер Ферма заявил, что ни при каких n, кроме 1 и 2, это равенство вообще невозможно в целых числах, .Более того, он утверждал, что это отнюдь не предположение, но теорема, доказанная им со всей математической строгостью. Попытка многих математиков повторить доказательство или найти новое, были тщетны. После смерти Ферма в его бумагах нашли только заметку на полях математической книги, в которой была приведена формулировка этой теоремы "о неразрешимости", а затем написано: "Доказательство слишком длинно, чтобы можно было привести его здесь". И больше ничего, ни строчки на эту тему. Так до сих пор и неизвестно, действительно ли доказал Ферма Великую теорему. Позволю себе высказать собственное мнение по этому поводу. Вы знаете, что хоть я и не профессионал математик, но любителем этой науки был всегда, ибо мой дедуктивный метод требует сугубо математического стиля мышления. И вот я думаю, что Ферма теорему доказал. Дело в том, что она совершенно необычна для XVII века. В то время математики решали задачи, а не доказывали, что их невозможно решить. Они искали корни алгебраических уравнений любой степени, пытались разделить угол на три части циркулем и линейкой, построить квадрат, равновеликий круг, пробовали строго доказать пятый постулат Эвклида. Только в девятнадцатом веке было установлено, что это задачи неразрешимые. Hо в то время такого рода мысли да же не приходили в голову. Это был период бурного развития математики, решались одна задача за другой. Hа фоне столь выдающихся успехов выдвинуть гипотезу о том, что никто и никогда не найдет трех таких чисел, чтобы выполнялось уравнение Ферма при n больше двух, было психологически невозможно. Такую мысль можно было в то время высказать, только имея твердое доказательство. Следовательно, оно у Ферма было. В этом я уверен. Какое оно, насколько надежное, достаточно ли убедительно с точки зрения современной математической придирчивости, не знаю и не могу знать. Это уже не моя сфера. Hо самое удивительное, что до сих пор не найдено не только доказательство великой теоремы, не найдено даже такое, пусть неверное, доказательство, которое мог бы принять за истину сам Ферма. Очевидно, что это доказательство было не так уж сложно, если оно даже не нашло отражения в его архиве. Если и он занимался этой проблемой долгое время, то наверняка в бумагах сохранились бы следы этой работы. По? видимому. Ферма нашел решение более или менее случайно, а повторить его не могут уже триста лет. Прямо привидение в мире математики. Впрочем, Ватсон, я кажется увлекся. Итак, продолжим. С XVII века теорема бросает вызов математическому разуму. Было проверено, что до n меньше чем 2047 уравнение Ферма действительно в целых числах неразрешимо. Hо ведь это не ответ на поставленную задачу. А может при п, равном ста миллионам, как раз и существует решение. Hовый стимул к штурму Великой теоремы Ферма возник несколько лет назад, когда один немецкий промышленник завещал миллион марок тому, кто ее дол кажет. За работу принялись домохозяйки и школьники, юристы (благо сам Ферма был юристом) и портные, учителя математики и матросы каботажного плавания. Геттингенский университет, которому по завещанию было поручено распоряжаться этой премией, был буквально завален "доказательствами". Увы, как и следовало ожидать, все они оказались порочными. Газета, о которой я обещал вам рассказать, как раз сообщала, что некий японский школьник доказал Великую теорему Ферма и математики Токийского университета якобы не могли найти в этом доказательстве пороков- По всей видимости, это обычная газетная утка. Hо, когда, я читал эту заметку, меня прямо пронзила мысль. А не использовал ли Мариарти Великую теорему- Ферма для шифровки? Ведь если последовательность 2-2-2 записать в виде: