Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Интересно и даже в какой-то степени неизбежно отставить в сторону при рассмотрении этой задачи факторы морального толка («предавать товарища нехорошо» или «за такой выбор меня будет мучить совесть»), так как они еще больше запутывают и не помогают принять решение. Нечто похожее происходит с кооперативными стратегиями. Кооперация предпочтительней не из-за этического аспекта, который не относится к сфере математики: она просто является наилучшей стратегией для получения максимального выигрыша с минимальным риском в конкретной игре, в которой есть конфликт интересов.

Чтобы избежать такой путаницы, лучше всего представить дилемму как игру в казино, в которой можно выиграть или проиграть какое-то количество денег, а не как трагический рассказ, в котором идет речь о жизни людей. Такой метод предлагает Вильям Паундстоун в своей книге Prisoner's dilemma {«Дилемма заключенного», 1992).

Речь идет об игре с двумя участниками, которая проходит всего один раз. Чтобы повторить ее, придется поменять обоих игроков. Единственное условие, которое стоит перед участниками, — одержать победу, как и в любой другой игре. Это кажется очевидным, но на самом деле нуждается в уточнении. Если игрок в покер хочет обмануть соперника с помощью блефа, нет смысла говорить, что это противоречит моральным принципам. Это глупо, ведь участники должны придерживаться правил без обмана и, главное, играть, чтобы выиграть. Такой подход особенно важен, когда теория игр выходит за рамки простого времяпрепровождения и применяется в военном сценарии.

Вернемся к дилемме в версии с казино: в ней участники играют за столом, под которым размещен электронный аппарат, невидимый противнику. Каждый игрок должен принять решение, сотрудничает он с соперником или нет. Крупье объявляет, в какой момент игроки могут нажимать на соответствующие кнопки. После того как установлен размер заклада, платежная матрица может иметь следующий вид.

КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ

В кооперативных играх участники преследуют общую цель, например выиграть выборы, улучшить управление компанией или повысить ее прибыль. Для достижения этой цели они объединяются в корпорации. Создается ситуация, обратная так называемым некооперативным, или антагонистическим, играм, в которых решающее значение имеет индивидуальная стратегия. Яркий пример обоих понятий можно найти в военных играх. Во время холодной войны существовало нестабильное равновесие между двумя мощными мировыми державами — СССР и США. Они вели антагонистическую игру с односторонними стратегиями. Было понятно, что такая некооперативная игра может иметь фатальные последствия для участников, и, таким образом, были заключены договоренности об остановке гонки ядерных вооружений.

Пейнтбол — кооперативная игра, в которой симулируются военные действия.

Объединение ради победы

Примером кооперативных игр могут быть ролевые игры. Они похожи на театральную постановку, в которой участники играют роли вымышленных персонажей, следуя указаниям рассказчика, придумывающего сценарий, но игроки вольны решать, что им делать в установленных рамках. Таким же образом, если играть в домино каждый за себя, это будет некооперативная игра, если играть парами — кооперативная.

В сотрудничает

В не сотрудничает

А сотрудничает

(2, 2)

(0, 3)

А не сотрудничает

(3, 0)

(1, 1)

Получается, что при кооперации каждый выигрывает 2 евро, если ни один не сотрудничает — по одному, если один сотрудничает, а второй нет, то первый не получает ничего, а второй — 3 евро. В последнем случае игрок, что называется, остается в дураках, и большая часть участников пытается избежать этого всеми силами.

Эта платежная матрица может иметь несколько вариантов, например проигрыши в ней могут обозначаться отрицательными числами. Это приблизило бы нас к дилемме заключенного в ее классической версии, но она может использоваться как модель для изучения дилеммы, если удовлетворяет следующим требованиям: один из результатов должен представлять собой приз (то есть когда оба игрока сотрудничают, оба получают 2 евро), другой — наказание (когда оба не сотрудничают), а третий (не сотрудничает только один) — предусматривать приз для одного из них с выигрышем больше, чем при обоюдной кооперации.

ТЕОРИЯ АБСТРАКТНЫХ АВТОМАТОВ

Было бы ошибкой полагать, что после войны вся научная деятельность фон Неймана была сконцентрирована исключительно на военных проектах. Из его биографии ясно видно, что его ум никогда не был занят чем-то одним.

Одной из основных задач, над которыми фон Нейман работал в этот период своей жизни, был универсальный самовоспроизводящийся клеточный автомат. Эта задача затрагивала вопрос репродукции — великой загадки жизни. Ученый хотел доказать, что это явление подчиняется не таинственным законам, а более или менее простым математическим правилам — настоящему языку природы.

Универсальный автомат фон Неймана — это машина, состоящая из модуля, который при помощи четких инструкций и имеющихся материалов может смоделировать все что угодно, а также имеет необходимые инструкции для воспроизведения себя самого. Фон Нейману пришлось добавить одно условие, чтобы избежать так называемой бесконечной регрессии: где- то в машине должны содержаться инструкции, описывающие ее саму. Таким образом, эти инструкции должны были содержать другие инструкции, которые их описывают, и так далее. Но в любом случае машина не может иметь такую бесконечную регрессию. Чтобы решить эту проблему, фон Нейман добавил третий элемент — репродуктор инструкций. Таким образом, полная версия устройства состояла из конструктора, списка программ-инструкций и репродуктора. В первой фазе список программ-инструкций подвергался интерпретации, а во второй — просто копировался.

Для создания самовоспроизводящегося устройства в компьютере необходимо было сделать автомат, который не уступал бы машине Тьюринга. Теоретически для этого можно использовать логические выражения NOT-AND-OR (нет-и-или). Например, можно сделать выражение NOT с так называемым планерным ружьем Госпера, но эта схема слишком сложна, чтобы описывать ее здесь. Фон Нейман доказал, что при таких условиях клеточный автомат с 200 тысячами состояний смог бы самовоспроизводиться, однако его описание превышает наши вычислительные способности.

Если однажды клеточный автомат фон Неймана будет создан, это значит, что где-то появится робот, окруженный материалами, который примется за работу и по истечении определенного времени создаст свою точную копию. Потом их станет две, потом четыре и так далее в геометрической прогрессии. Однако фон Нейман не мог предвидеть того (и сегодня никто не может этого сделать), как эти роботы будут вести себя по отношению к людям. Это важный вопрос, ведь за короткое время количество роботов стало бы огромным, и их становилось бы все больше.

В 1948 году фон Нейман спроектировал универсальный конструктор. Эта машина, следуя заданным инструкциям, могла собрать другую машину из материалов, находящихся рядом. Нечто подобное мы можем наблюдать на любой роботизированной фабрике. Но ученый хотел пойти еще дальше и снабдить машину инструкциями и материалами, необходимыми для создания точной копии самой себя; другими словами, он хотел создать клеточный автомат. Природа, в которой мы живем, изобилует клеточными автоматами, ДНК — один из них. Любопытно, что фон Нейман — один из самых выдающихся теоретиков XX века — хотел преодолеть теорию с помощью своей самовоспроизводящейся машины, которую назвал «Кинематон».