Стол находок утерянных чисел

Но вот очередной раунд пересадок закончился, и попугай вышел на эстраду для торжественной церемонии.

— Дорррогие дрррузья! — начал он бойкой заученной скороговоркой. — Вы, разумеется, поняли, что сегодняшний концерт посвящается мне. Ведь исполняют в нём не какую-нибудь, а ПОП-музыку! Ха-ха-ха… Но это так, шутка, а если говорить всерьёз, произошло знаменательное событие. Наш несравненный ПРОМОККМ-4 завершил очередной цикл пересадок, и я счастлив объявить, что число их равно… кх-кх…

Тут он застыл с отверстым ртом и жестом показал, что у него пропал голос. С минуту в кафе «Тарарам» царила растерянность. И вдруг в проходе между столиками появился чёрный мохнатый клубок.

Он пулей пересек зал, поравнялся с эстрадой, легко вскочил на неё и… Посетители кафе увидели нашего Пусю! Как будущий артист он не мог не выручить собрата, как истый математик не мог допустить нарушения математических традиций города Энэмска. И все услышали, как Пуся тявкнул двадцать четыре раза. Потому что число перестановок из четырёх равно именно двадцати четырём.

Думаю, такого тарарама в кафе «Тарарам» ещё не было! Зал буквально стонал от восторга. Но самое любопытное, что число перестановок Пуся вычислил самостоятельно. Девочке же для этого потребовалась моя помощь, и я научил её находить число перестановок самым простым способом. 4 — четвёртое по счёту число натурального ряда. Чтобы узнать, сколько различных пересадок могут сделать четыре музыканта, надо перемножить числа 1, 2, 3, 4, и получится как раз двадцать четыре.

После этого девочка… виноват, Главный секретарь операции «Пуся» открыла свой блокнот, а заодно и конференцию, потому что ПРОМОККМ-4 удалился на заслуженный отдых, и в нашем распоряжении оказалось пятнадцать минут тишины.

Сначала мы освежили в памяти список примет: 1) Все цифры в номере разные. 2) В номере нет нулей. 3) Номер чётный. 4) Номер делится на 11, причём сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных. 5) Последние три цифры номера — последовательно возрастающие. И наконец 6) Значность номера — число совершенное и в то же время треугольное.

Окинув намётанным глазом это обширное хозяйство, я сразу сообразил, что самая важная примета — шестая, последняя, поскольку касается она значности числа. Выходит, с неё и надо начинать. Но прежде я напомнил участникам конференции об одной особенности совершенных чисел. Они растут как на дрожжах! Если первое из них — 6 —число однозначное, второе — 28 — двузначное, то третье — 496 — уже трёхзначное, а последнее из известных совершенных чисел записывается более чем шестью тысячами знаков!

Совершенно ясно, что лотерейный номер не может быть таким длинным. Речь, стало быть, может идти только о двух первых совершенных числах, которые, кстати, оба треугольные. Но второе из них — 28 — придётся отмести. Почему? Да потому, что в числе, состоящем из двадцати восьми цифр, какие-то непременно повторяются. А это противоречит первой примете: все цифры в номере разные. Остаётся число 6. И стало быть, номер — шестизначный. Вот и всё, что мы можем пока извлечь из наших многочисленных признаков.

— Негусто, — вздохнул Главный те рятель, уныло допивая остывший кофе.

— Но и не так уж мало, — бодро возразил я. — Всё-таки некоторые ассоциации привели нас к существенным результатам. И потому — двинемся за новыми!

Двинуться, однако, не удалось, потому что в это время к нам подошёл тот самый человек, который расшифровал название ансамбля.

— Извините великодушно, — сказал он, — у вас такая удивительная собака! Вот я и подумал, что вы, должно быть, тоже любите математику…

— Конечно, любим! А иногда и знаем, — сказала девочка, лукаво взглянув на меня.

— Очень, очень приятно! — обрадовался незнакомец. — Недаром я сразу почувствовал, что здесь мне помогут. Видите ли, я дрессировщик. Выступаю с группой обезьян. Недавно я выписал для них бананы. Мои обезьяны без бананов не могут, и я всегда делаю большие запасы. На сей раз поставщик оказался шутником. Он заявил, что числа отправленных бананов не помнит. Знает лишь, что оно было наименьшим из возможных, оканчивается четвёркой, и что эта четвёрка, будучи переставлена в начало числа, увеличит его вчетверо. Так вот, если я отгадаю, сколько штук бананов отправлено, он обязуется посылать мне каждый месяц столько же, и мои обезьяны будут обеспечены бананами до скончания века. Не поможете ли мне узнать, что это за число?

— С величайшим удовольствием! — отвечал я. — Находить числа — моя святая обязанность. Правда, ваш случай не из лёгких. Но у меня есть один приём, и он нас выручит. Итак, мы ищем число с четвёркой на конце, и эта четвёрка, очутившись в начале числа, увеличит его вчетверо. Так узнаем сперва зто учетверённое число. Попробуем неизвестное нам число отправленных бананов умножить на 4. «Как?! — воскликнете вы. — Как же это возможно? Ведь оно неизвестное!» Да, отвечу я, но не совсем. У него есть кончик — четвёрка. Ухватимся за этот кончик и попробуем вытащить всё число. Для начала умножим четвёрку на 4, чтобы получить последнюю цифру учетверённого числа. 4x4=16. Вот вам и число единиц в новом числе: это 6. Причём в уме у нас остаётся единица, которая перейдёт в следующий разряд. А теперь… Теперь вступает в силу мой приём. Умножим последнюю цифру учетверённого числа 6 на 4, не забыв прибавить к произведению единицу. Получим 25: 6x4=24; 24+1=25. Вот у нас появилась и вторая цифра с конца — 5, при этом 2 остаётся в уме. Снова умножаем 5 на 4 и прибавляем к произведению двойку. Получаем 22: 5x4=20; 20+2=22. Вот вам и третья цифра с конца — 2, а два придерживаем в уме. Снова умножаем 2 на 4, прибавляем двойку и получаем 10. Теперь у нас уже есть четвёртая цифра с конца — 0, да единица в уме. Умножаем 0 на 4, затем прибавляем к произведению единицу и получаем 1: 0x4=0; 0+1=1. Это уже пятая цифра с конца. И наконец, умножив 1 на 4, получаем шестую с конца цифру — 4. Так, шаг за шагом, мы вытащили из неизвестности учетверённое число бананов 410256. Остаётся разделить его на четыре, чтобы найти искомое. Но делать это незачем. Ведь по условию, вернув четвёрку в конец числа, мы его сделаем вчетверо меньше. И, значит, число это — 102564. На всякий случай проверим: умножим 102564 на 4 и получим… 410256. Ошибки нет. Число найдено. И довольно-таки солидное число. Похоже, обезьяны ваши с голода не умрут…

Дрессировщик был вне себя от радости. Он превозносил и меня, и мой способ, и щедрость своего поставщика, который собирается заплатить такой дорогой ценой за решение задачи.

Но я сказал, что поставщик его оказался не только щедрым, но и милосердным. Ведь если бы в условии задачи не было сказано, что надо найти наименьшее из возможных чисел, так пришлось бы нам вычислять число посланных бананов до бесконечности. Потому что 102564 — это период бесконечного целого периодического числа. И, продолжив наше умножение тем же способом, мы снова и снова получим те же цифры, то же число. Нарастая справа налево, оно будет бесконечно повторяться и всегда при этом удовлетворять условию задачи. Потому что, каким бы длинным оно ни было, из скольких бы периодов не состояло, четвёрка, переставленная с конца в начало, непременно увеличит его вчетверо.

И тут меня перебила девочка.

— Какое совпадение! — ахнула она. — Какое удивительное совпадение! 102564 — это ведь то самое число, которое показывали в цирке воздушные гимнасты! Только там оно было периодом дроби, а здесь — целого числа…

Вот как! А я и не заметил… Впрочем, если это и совпадение, так чисто житейское, но никак не математическое. Почему? Да потому, что в том случае, когда последняя цифра числа, переставленная в начало, увеличивает его во столько же раз, число всегда будет одновременно периодом целого периодического числа и периодом дроби…

Девочку это слегка разочаровало, и я в виде утешения сказал, что таких чисел всего 9 — столько же, сколько цифр в нашей, десятичной системе счисления (нуль в данном случае не в счёт), и ничто ей не мешает вычислить тем же способом все остальные.