Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Предположим, мы обнаружили, что для некоторого выбран­ного кристалла электрическое поле Е_1; направленное по оси х, дает поляризацию Р₁, направленную по той же оси, а одина­ковое с ним по величине электрическое поле Е₂, направленное по оси у, приводит к какой-то другой поляризации Р₂, тоже нап­равленной по оси у. А что получится, если электрическое поле приложить под углом 45°? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей х и y, то поляризация Р равна сумме векторов P₁ и Р₂, как это пока­зано на фиг. 31.1, а.

Фиг. 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

Поляризация уже не параллельна направ­лению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так про­исходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны. Если же сила приложена под углом 45°, то эти заря­ды более охотно движутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии внутренних упругих сил перемещение идет не по направлению внешней силы. Разумеется, угол 45° ничем не выде­лен. То, что индуцированная поляри­зация не направлена по электрическо­му полю, справедливо и в общем случае. Перед этим нам просто «посчастливи­лось» выбрать такие оси х и у, для которых поляризация Р была направлена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле Е₂, направленное по оси y, вызвало бы поляризацию как по оси у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызван­ная полем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и y-компоненты. Так что вместо фиг. 31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,6. Но несмотря на все это ус­ложнение, величина поляризации Р для любого поля Е по-преж­нему пропорциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

Р_x =a_xxE_x, Р_у=a_ухЕ_х, Р_z=a_zxЕ_x. (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направ­ленное по оси х, создает поляризацию не только в этом нап­равлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Р_х, Р_yи P_z, каждая из которых пропорциональна Е_х. Коэффициен­ты пропорциональности мы назвали a_хх, a_ухи a_zx (первый зна­чок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать

Р_х=a_хуЕ_y, Р_у=a_ууЕ_у, Р_z=a_гуЕ_у, (31.2)

а для поля в z-направлении

P_x=a_xzE_z, P_y=a_yzE_z P_z=a_zzE_z. (31,3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то x-компонента поляризации Р будет суммой двух Р_х, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то состав­ляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ностью описываются девятью величинами (a_xx,, a_xy,,a_xz,a_yz , ...), которые можно записать в виде символа a_ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электри­ческое поле Е можно разложить на составляющие Е_x, Е_yи Е_z. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a_ijи найти Р_х, Р_y и P_z, которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов a_ijназывается тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины (Е_х, Е_у, Е_z) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин (a_хх, a_ху, ...)«образуют тензор a_ij».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_х', Е_у', Е_г'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a_ijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P_x' будет линейной комбинацией Р_х, Р_y' , и Р_z':

Р_x’=аР_х+bР_у+сР_z,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р_х, Р_yи Р_zподставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится

Теперь напишите, как выражается Е_х, Е_yи E_zчерез Е_x' , Е_y'и Е_z' , например,

E_x = a'E_x'+b'E_y'+c'E_z' ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р_х'через компо­ненты Е_х', Е_y'и E_z' , т. е. получились новые a_ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.