Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Поскольку поле с потенциалом V, в котором движется элект­рон, зависит только от r, а не от q и не от j, то гамильтониан симметричен относительно поворотов. Отсюда следует, что и момент количества движения и все его проекции сохраняются. Это не есть особое свойство кулонова потенциала e²/r; оно спра­ведливо при движении в любом «центральном поле» — поле, зависящем только от r.

Представим себе некоторое возможное состояние электрона; внутренняя угловая структура этого состояния будет опреде­ляться квантовым числом l. В зависимости от «ориентации» полного момента количества движения относительно оси z его проекция т на ось z может равняться одному из 2l+1 чисел между +l и -l. Пусть, например, m=1. С какой амплитудой электрон окажется на оси z на расстоянии r от начала? С нуле­вой. Электрон на оси z не может иметь какого-либо орбиталь­ного момента относительно этой оси. Но пусть тогда m=0. Вот это другое дело; теперь уже может появиться не равная нулю амплитуда того, что электрон окажется на оси z на таком-то расстоянии от протона. Обозначим эту амплитуду F_l(r). Это — амплитуда того, что электрон будет обнаружен на расстоянии r по оси z, когда атом находится в состоянии | l, 0>, т. е. в состоянии с орбитальным моментом l и его z-компонентой m=0. А если нам известно F_l(r), то известно все. Теперь уже в лю­бом состоянии |l, m>мы можем узнать амплитуду y_lm (r) того, что электрон обнаружится в произвольном месте атома. Как мы это узнаем? А вот следите. Пусть у нас есть атом в состоянии | l, m>. Какова амплитуда того, что электрон обнару­жится под углом q, j и на расстоянии r от начала? Проведите новую ось z, скажем z', под этим углом (фиг. 17.3) и задайте вопрос: какова амплитуда того, что электрон окажется на новой оси z на расстоянии r?

Фиг. 17.3. Точка (х, у, z) лежит на оси z' системы координат х' , у', z'.

Мы знаем, что он не сможет оказаться на оси z', если только m — его z'-компонента момента коли­чества движения — не равна нулю. Когда же m' =0, то амплитуда того, что электрон обнаружится на оси z', есть F_l(r). Значит, результат получится перемножением двух амплитуд. Первая это амплитуда того, что атом, находящийся в состоянии |l, т> относительно оси z, окажется в состоянии | l, m'=0> относи­тельно оси z' . Умножьте эту амплитуду на F_l (r) и вы получите амплитуду y_l,m(r) того, что электрон обнаружится в точке (r, q, j) относительно первоначальной системы осей.

Давайте все это распишем. Матрицы преобразования для поворотов мы уже вычислили. Чтобы перейти от системы х, у, z к системе х', у', z' (см. фиг. 17.3), можно сперва сделать поворот вокруг оси z на угол j, а потом сделать поворот вокруг новой оси у (оси у') на угол q. Совместный поворот выразится произведением

R_у(q)R_z(j).

Амплитуда того, что после поворота обнаружится состояние | l, m' =0>, есть

В итоге получаем

Орбитальное движение может обладать только целыми зна­чениями l. (Если электрон может быть обнаружен в любом месте, где r№0, то имеется некоторая амплитуда того, что в этом на­правлении будет m=0. А состояния с m=0бывают только при целых спинах.) Матрицы поворота для l=1 приведены в табл.15.2 (стр. 129). Для больших l вы можете воспользоваться общими формулами, выведенными в гл. 16. Матрицы R_z(j) и R_y(q) написаны по отдельности, но как их комбинировать, вы знаете. В общем случае вы начнете с состояния | l, m> и подей­ствуете на него оператором R_z(j), получив новое состояние R_z(j)|l, т>(которое просто равно e^imj|l, m>). Затем вы подействуете на это состояние оператором R_y(q) и получите состояние R_y(q) R_z(j) |l, m>. Умножение на <l, 0| даст вам матричный элемент (17.31).

Матричные элементы операции поворота — это алгебраиче­ские функции от q и j. Те частные виды функций, которые появляются в (17.31), возникают и во многих других задачах, связанных с волнами на сфере. Им присвоили особое имя. Правда, не у всех авторов обозначения одинаковы; чаще всего все же пишут

Функции Y_l,m(q, j) называют сферическими гармониками, a a — просто численный множитель, который зависит от того, как определено Y_l,m. При обычном определении

В этих обозначениях волновые функции водорода записываются так:

Угловые функции Y_l,m(q,j) важны не только во многих квантовомеханических задачах, но и во многих областях клас­сической физики, в которых встречается оператор С², например в электромагнетизме. В качестве другого примера их примене­ния в квантовой механике рассмотрим распад возбужденного состояния Ne²⁰ (о котором говорилось в предыдущей главе), которое испускает a-частицу и превращается в О¹⁶:

Neao'^o^-fHe⁴.

Допустим, что возбужденное состояние имеет спин l (обяза­тельно целый), а z-компонента момента количества движения есть т. Спросим вот о чем: если даны l и т, токакова амплитуда того, что a-частица вылетит в направлении, составляющем с осью z угол q и с плоскостью xz угол j (фиг. 17.4)?

Фиг. 17.4. Распад возбужденного состояния Ne²⁰.

Решить эту задачу нам поможет следующее наблюдение. Распад, в котором a-частица вылетает прямо вдоль оси z, должен происходить из состояния с m=0. Это потому, что у самих О¹⁶ и a-частицы спин равен нулю, а за счет движения вдоль оси z момента вокруг этой оси не создашь. Обозначим эту амплитуду а (на единицу телесного угла). Тогда, чтобы найти амплитуду распада под произвольным углом (см. фиг. 17.4), остается только узнать, с какой амплитудой данное начальное состояние будет обладать нулевым моментом относительно направления распада. Амплитуда того, что распад будет в направлении (q, j), тогда будет равна произведению а на амплитуду того, что состояние |l, т>относительно оси z окажется в состоянии |l, 0> отно­сительно z' (направления распада). Эта последняя амплитуда как раз и есть то, что мы писали в (17.31). Вероятность увидеть a-частицу под углом (q, j), стало быть, равна

Для примера рассмотрим начальное состояние с l=1 и различными т. Из табл. 15.2 (стр. 129) мы знаем все нужные амплитуды: