Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Таблица 16.2 · МАТРИЦА ПОВОРОТА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ³/₂

Коэффициенты а, b, с и d объясняются в табл. 10.4.

Рассуждения, которые мы только что провели, были обобще­ны на систему с произвольным спином j. Состояния |j, m> можно составить из 2j частиц со спином ¹/₂ у каждой. (Из них j+m будут в ] + >-состоянии, а j-m будут в |->-состоянии.) Проводится суммирование по всем возможным способам, какими их можно сочетать, а затем состояния нормируются умноже­нием на надлежащую постоянную. Если у вас есть способности к математике, то вы сможете доказать, что получается следую­щий результат:

где k пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицательные величины.

Это очень запутанная формула, но с ее помощью вы сможете проверить табл. 15.2 для j=1 (стр. 129) и составить ваши собственные таблицы для больших j. Некоторые матричные элементы очень важны и получили особые наименования. Например, матричные элементы для m= m'=0и целых j известны под названием полиномов Лежандра и обозначаются </, 0 |

Первые из них таковы:

P₀(cosq)=l, (16.37)

P₁(cosq)=cosq, (16.38)

§ 5. Измерение ядерного спина

Продемонстрируем теперь пример, где понадобятся только что описанные коэффициенты. Он связан с проделанными не так давно интересными опытами, которые вы теперь в состоянии будете понять. Некоторым физикам захотелось узнать спин одного из возбужденных состояний ядра Ne²⁰. Для этого они принялись бомбить углеродную мишень пучком ускоренных ионов углерода и породили нужное им возбужденное состояние Ne²⁰ (обозначаемое Ne^20*) в реакции

где a₁ — это a-частица, или Не⁴. Кое-какие из создаваемых таким образом возбужденных состояний Ne²⁰ неустойчивы и распадаются таким путем:

Значит, на опыте видны возникающие в реакции две a-частицы. Обозначим их a₁и a₂; поскольку они вылетают с разными энер­гиями, их можно отличить друг от друга. Кроме того, выбирая a₁, имеющие нужную энергию, мы можем отобрать любые воз­бужденные состояния Ne²⁰.

Опыт ставился так, как показано на фиг. 16.9.

Фиг. 16.9. Размещение приборов в опыте по определению спина воз­бужденных состояний Ne²⁰.

Пучок ионов углерода с энергией 16 Мэв был направлен на углеродную пленку. Первая a-частица регистрировалась кремниевым детектором, настроенным на прием a-частиц с нужной энергией, движущихся вперед (по отношению к падающему пучку ионов С¹²). Вторая a-частица регистрировалась счетчиком a₂, поставленным под углом q к a₁. Скорость счета сигналов совпа­дений от a₁ и a₂ измерялась как функция угла q.

Идея опыта в следующем. Прежде всего нужно знать, что спины С¹², О¹⁶ и a-частицы все равны нулю. Назовем направ­ление движения начальных частиц С¹² направлением +z; тогда известно, что Ne^20* должен обладать нулевым моментом коли­чества движения относительно оси z. Ведь ни у одной из осталь­ных частиц нет спина; кроме того, С¹² прилетает вдоль оси z и a₁ улетает вдоль оси z, так что у них не может быть момента относительно этой оси. И каким бы ни был спин j ядра Ne^20*, мы знаем, что это ядро находится в состоянии |j, 0>. Что же случится, когда Ne^20* распадется на О¹⁶ и другую a-частицу? Что ж, a-частицу поймает счетчик a₂, а О¹⁶, чтобы сохранить начальный импульс, вынужден будет уйти в противоположную сторону. Относительно новой оси (оси a₂) не может быть тоже никакой компоненты момента количества движения. А раз конечное состояние имеет относительно новой оси нулевой мо­мент количества движения, то у распада Ne^20* должна быть некоторая амплитуда того, что m'=0, где m'—квантовое число компоненты момента количества движения относительно новой оси. Вероятность наблюдать a₂ под углом q будет на самом деле равна квадрату амплитуды (или матричного эле­мента)

Чтобы получить спин интересующего нас состояния Ne^20*, вычертим интенсивность наблюдений второй a-частицы как функцию угла и сравним с теоретическими кривыми для раз­личных значений j. Как мы отмечали в конце предыдущего параграфа, амплитуды <j,0|R_y(q)|j,0>—это просто функции Р_j(cosq). Значит, угловые распределения будут следовать кри­вым [P_j(cosq)]². Экспериментальные результаты для двух возбужденных состояний показаны на фиг. 16.10.

Фиг. 16.10. Экспе­риментальные резуль­таты измерений уг­лового распределения a-частиц, вылетающих при распаде двух воз­бужденных состояний Ne²⁰.

Они получены на устрой­стве, показанном на фиг. 16.9.

Вы видите, что угловое распределение для состояния 5,80 Мэв очень хорошо укладывается на кривую [Р₁(cosq)]², т. е. оно должно быть состоянием со спином 1. С другой стороны, данные для состоя­ния 5,63 Мэв выглядят совершенно иначе; они ложатся на кривую [Р₃(cosq)]². Спин этого состояния равен 3.

В этом опыте мы измерили момент количества движения двух возбужденных состояний Ne^20*. Этой информацией можно воспользоваться, чтобы понять, как ведут себя протоны и нейтроны внутри этого ядра, и это принесет нам добавочные сведения о таинственных ядерных силах.

§ 6. Сложение моментов количества движения

Когда мы изучали сверхтонкую структуру атома водорода в гл. 10 (вып. 8), нам пришлось рассчитывать внутренние состоя­ния системы, составленной из двух частиц — электрона и протона — со спинами ¹/₂. Мы нашли, что четверка возможных спиновых состояний такой системы может быть разбита на две группы — на тройку состояний с одной энергией, которая во внешнем поле выглядела как частица со спином 1, и на одно ос­тавшееся состояние, которое вело себя как частица со спином 0. Иначе говоря, объединяя две частицы со спином ¹/₂, можно образовать систему, «полный спин» которой равен либо единице, либо нулю. В этом параграфе мы хотим рассмотреть на более общем уровне спиновые состояния системы, составленной из двух частиц с произвольными спинами. Это другая важная проблема, связанная с моментами количества движения квантовомеханической системы.

Перепишем сперва результаты гл. 10 для атома водорода в форме, которая позволит распространить их на более общий случай. Мы начали с двух частиц, которые теперь обозначим так: частица а (электрон) и частица b (протон). Спин частицы а был равен j_a(=¹/₂), a z-компонента момента количества движе­ния m_амогла принимать одно из нескольких значений (на са­мом деле два, а именно m_а=+¹/₂ или m_а=-¹/₂). Точно так же спиновое состояние частицы b описывалось ее спином j_b и z-компонентой момента количества движения m_b. Из всего этого можно было составить несколько комбинаций спиновых состояний двух частиц. Например, из частицы а с m_а= ¹/₂ и частицы b с m_b=-¹/₂ можно было образовать состояние | а, +¹/₂; b, -¹/₂>. Вообще, объединенные состояния образовы­вали систему, у которой «спин системы», или «полный спин», или «полный момент количества движения» J мог быть равен либо единице, либо нулю, а z-компонента момента количества движения М могла равняться +1, 0 или -1 при J=1 и нулю при J=0. На этом новом языке формулы (10.41) и (10.42) можно переписать так, как показано в табл. 16.3.