Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными k будут представлять состояния со слегка различ­ными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного С_nпоэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы ви­дели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где |С(x_n)|²наи­большие] с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта груп­повая скорость связана с зависимостью k от частоты формулой

все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для кото­рого С_nменяется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного «кристалла» с быстротой v, рапной dw/dk, где w=E/h.

Фиг. 11.5. Вещественная часть С(х_n) как функция х для суперпозиции нескольких состояний с близкими энергиями.

Подстав­ляя (11.16) вместо Е, получаем

Иными словами, электроны движутся по кристаллу с быстротой, пропорциональной самому характерному k. Тогда, согласно (11.16), энергия такого электрона пропорциональна квадрату его скорости, он ведет себя подобно классической частице. Пока мы рассматриваем все в столь крупном масштабе, что никаких тонкостей строения разглядеть не можем, наша квантовомеханическая картина приводит к тем же результатам, что и клас­сическая физика.

В самом деле, если из (11.18) найти k и подставить его в (11.16), то получится

где m_эфф — постоянная. Избыточная «энергия движения» элект­рона в пакете зависит от скорости в точности так же, как и у классической частицы. Постоянная m_эфф, именуемая «эффектив­ной массой», дается выражением

Заметьте еще, что можно написать

Если мы решим назвать m_эффv «импульсом», то этот импульс будет связан с волновым числом k так же, как и у свободной частицы.

Не забывайте, что m_эффничего общего не имеет с реальной массой электрона. Она может быть совсем другой, хотя следует сказать, что в реальных кристаллах часто случается, что ее порядок величины оказывается примерно таким же (в 2 или, скажем, в 20 раз больше, чем масса электрона в пустом про­странстве).

Мы только что с вами раскрыли поразительную тайну — как это электрон в кристалле (например, пущенный в германий добавочный электрон) может пронестись через весь кристалл, может лететь по нему совершенно свободно, даже если ему при­ходится сталкиваться со всеми атомами. Это получается оттого, что его амплитуды, перетекая с одного атома на другой, прокладывают ему путь через кристалл. Вот отчего твердое тело может проводить электричество.

§ 4. Электрон в трехмерной решетке

Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Резуль­таты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоуголь­ная решетка атомов с расстояниями а, b, с в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что ам­плитуда прыжка к соседу в направлении х есть iA_x/h; ампли­туда прыжка в направлении у есть iA_y/h, а амплитуда прыжка в направлении z есть iA_z/h. Как же описать базисные состоя­ния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние — это когда электрон находится близ атома с координатами х, у, z, где (х, у, z) — одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на

х=n_ха, y=n_yb и z=n_zс,

где n_х, n_y, n_z —три целых числа. Вместо того чтобы ставить при х, у и z их номера, будем просто писать х, у, z, имея в виду, что они принимают лишь такие значения, которые бывают у то­чек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом | электрон в х, у, z>, а амплитуда того, что электрон в неко­тором состоянии |y> окажется в этом базисном состоянии, есть

С (х, у, z)=< электрон в х, у, z |y>.

Как и прежде, амплитуды С (х, у, z) могут меняться во вре­мени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:

Хоть это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое слагаемое.

Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все С меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента

Если вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия Е будет связана с k_x, k_yи k_zследующим образом:

Теперь энергия зависит от трех волновых чисел k_x, k_y, k_z, которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора k.

И действительно, (11.23) можно переписать в векторных обо­значениях:

Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном пространстве в направлении k с волно­вым числом k=(k²_x+k²_y+ k²_z)^1/2.

Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент k сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения Е зависит от относи­тельных знаков и величин А_х,А_уи А_z. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие k, то зависимость оказывается сравнительно простой.

Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к

В простой кубической решетке с расстоянием а между узлами следует ожидать, что и А_х, и А_y, и А_гбудут все равны друг другу (скажем, равны А), так что получилось бы

или

А это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некото­рой эффективной массой.

В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состоя­ние электрона около атома несимметрично) три коэффициента А_х, А_yи A_zразличны. Тогда «эффективная масса» элект­рона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направле­ния его движения. Может, например, оказаться, что у него раз­ная инерция при движении в направлении х и при движении в направлении у. (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)