Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Итак, выбирая k, мы получаем стационарное состояние с определенной энергией Е. И в каждом таком состоянии элект­рону одинаково вероятно оказаться около любого из атомов, никаких преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому меняется только фаза. Фазы меняются еще и со време­нем. Из (11.14) следует, что вещественная и мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как веществен­ная и мнимая части выражения

Волна может двигаться либо к положительным, либо к отрица­тельным х, смотря по тому, какой знак выбран для k.

Заметьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число k есть число вещественное. Теперь видно, почему в бесконечной цепочке атомов так и долж­но быть. Пусть k было бы мнимым числом —ik'. Тогда амплитуды а_nменялись бы, как

, что означало бы, что амплитуда растет все выше и выше, когда х возрастает, или при k' отрицательном, когда х становится большим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов это не может быть фи­зическим решением. Оно привело бы к бесконечным амплиту­дам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых k есть смысл.

Соотношение (11.13) между энергией Е и волновым числом k изображено на фиг. 11.3.

Фиг. 11.3. Энергия стационарных состояний как функция параметра k.

Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от Е₀-2А при k=0 до Е₀+ 2А при k=±p//b. График начерчен для положительных А, при отрица­тельных А кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней. Существенно то, что в некоторой области, или «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших пред­положений следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сможет оказаться вне этой полосы.

Согласно (11.10), меньшие k отвечают более низким энергети­ческим состояниям Е»Е₀-2А. Когда k по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при k=±p//b достигает ма­ксимума, как показано на фиг. 11.3. Для k, больших, чем p//b, энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим со­стояние наинизшей энергии, для которого k=0. Тогда при всех х_nкоэффициент а (х_n) будет один и тот же [см. (11.10)1. Та же самая энергия получилась бы и при k= 2p//b. Тогда из

(11.10) следовало бы

Но, считая, что начало координат приходится на х₀, можно по­ложить х_n= nb, и тогда а (х_n) превратится в

т. е. состояние, описываемое этими а (х_n), физически ничем не будет отличаться от состояний при k=0. Оно не представляет особого решения.

В качестве другого примера возьмем k=p/4b. Веществен­ная часть а (х_n) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.

Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=p/4b, кривая 2 —для k=7p/4b.

Если бы k было в семь раз больше (k=7p//4b), то вещественная часть а (х_n) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама коси­нусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках х_n.

Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех х_nдают одинаковые амплитуды.

Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные реше­ния нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -p/b до +p/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационар­ных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.

Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только пере­прыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме а_п=e^ikx, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом k имеют энер­гию E₀-2Acos kb-2Bcos2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции k не универсальна, а зависит от тех частных до­пущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относи­тельно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (-p/b, p/b) повторяется, так что заботиться о других значениях k не нужно.

Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним х_nи соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е₀=2А; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать

и энергия (11.13) превратится в

Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации

амплитуд С_n.

§ 3. Состояния, зависящие от времени

В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в х_n, равна С_n, то вероятность найти его там будет |С_n|². Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех х_nодна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, кото­рое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями k и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при t=0, амплитуда С_nвследствие интерференции раз­личных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн раз­ной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число k₀, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к k₀.