Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

P=const·e^-L/RT. (45.15)

Надо выяснить, в каких отношениях находится это выраже­ние с полученной ранее с помощью кинетической теории за­висимостью давления от температуры. Кинетическая теория говорит, хотя и очень неопределенно, что число молекул пара над жидкостью примерно равно

где U_G—U_L— разность отнесенных к молю внутренних энергий газа и жидкости. Термодинамическое уравнение (45.15) и кине­тическое уравнение (45.16) очень похожи, потому что давление равно nkT, но все-таки это разные уравнения. Однако их можно сделать одинаковыми, если заменить старое предположение L=const предположением о том, что L—U_G=const. Если предположить, что L—U_G — не зависящая от температуры постоянная, то соображения, из которых ранее следовало (45.15), при­ведут теперь к уравнению (45.16).

Это сравнение показывает преимущества и недостатки тер­модинамики по сравнению с кинетической теорией. Прежде всего полученное термодинамически уравнение (45.14) — это точное соотношение, а (45.16) — всего-навсего приближение. Ведь нам пришлось предположить, что U приблизительно постоянна и что наша модель верна. Во-вторых, нам, быть мо­жет, никогда не удастся понять до конца, как газ переходит в жидкость, и все-таки уравнение (45.14) правильно, а (45.16)— это только приближение. В-третьих, хотя мы говорили о прев­ращении газа в жидкость, наши аргументы верны для любого перехода из одного состояния в другое. Например, переход твердое тело — жидкость описывается кривыми, очень похо­жими на кривые фиг. 45.3 и 45.4.

Фиг. 45.4. Диаграмма Р — V для цикла Карно с конденсирующимся в цилиндре паром.

Слева — все вещество переходит в жидкость. Чтобы полностью испарить ее при температуре Т, нужно добавить тепла L. При падении температуры от Т до Т—DT пар расширяется адиаба­тически.

Вводя скрытую теплоту плав­ления М/моль, мы получим формулу, аналогичную уравне­нию (45.14): (дP_пл/дT)_V=M/[T(V_L-V_S)]. Мы можем не знать ничего о кинетической теории процесса плавления, а все же получить правильное уравнение. Однако если мы узнаем кинетическую теорию, то сразу же получим большое пре­имущество. Уравнение (45.14) — это всего лишь дифферен­циальное уравнение, и мы еще совершенно не умеем находить постоянные интегрирования. В кинетической теории можно вычислить и эти постоянные, надо только придумать хорошую модель, описывающую все явление полностью. Итак, в каждой теории есть и хорошее, и плохое. Если познания наши слабы, а картина сложна, то термодинамические соотношения ока­зываются самым мощным средством. Когда же картина упро­щается настолько, что можно ее проанализировать теоретиче­ски, то лучше сначала попробовать выжать из этого анализа как можно больше.

Еще один пример: излучение черного тела. Мы уже гово­рили об ящике, содержащем излучение и ничего больше, и уже толковали о равновесии между излучением и осциллятором.

Мы выяснили также, что когда фотоны ударяются о стенки ящи­ка, они создают давление Р. Мы вывели формулу PV=U/3, где U — полная энергия фотонов, а V — объем ящика. Если под­ставить U=3РV в основное уравнение (45.7),то обнаружится, что

Поскольку объем ящика не изменяется, можно заменить (дP/дT)_Vна dP/dT и получить обыкновенное дифференциальное уравне­ние. Оно легко интегрируется и дает lnP=4lnT+const, или Р=const·T⁴. Давление излучения изменяется как четвертая степень температуры, поэтому заключенная в излучении энер­гия U/V=P/3 тоже меняется как T⁴. Обычно пишут так: U/V=(4s/с)T⁴, где с — скорость света, а s— другая посто­янная. Термодинамика сама по себе ничего не скажет нам об этой постоянной. Это хороший пример и ее могущества, и ее бес­силия. Знать, что U/V изменяется как T⁴, — это уже большое дело, но узнать, чему именно равно U/V при той или иной тем­пературе, можно, только разобравшись в деталях полной тео­рии. У нас есть теория излучения черного тела и сейчас мы вы­числим а.

Пусть I(w)dw — распределение интенсивности, иначе говоря, поток энергии через 1 м²за 1 сек в интервале частот между w и w+dw:

Распределение плотности энергии =

поэтому

U/V=Полная плотность энергии,

Мы уже успели узнать, что

Подставляя выражение для I (w) в наше уравнение для U/V, получаем

Если сделать замену переменных x=hw/kT, то это выраже­ние примет вид

Этот интеграл — просто-напросто какое-то число, и мы можем найти его приближенно. Для этого надо лишь вычертить подын­тегральную кривую и подсчитать площадь под ней. Она прибли­зительно равна 6,5. Математики могут вычислить наш интеграл точно, он равен p⁴/15. Сравнивая это выражение с записан­ным ранее U/V=(4s/с)T⁴, мы найдем s:

Много ли энергии утечет за 1 сек из дырки единичной пло­щади, проделанной в стенке ящика? Чтобы найти поток энер­гии, умножим плотность энергии U/V на с. Еще нужно умножить на ¹/₄; эта четверть набегает вот по каким причинам. Во-первых, ^l/₂появляется из-за того, что мы вычисляем только вырвавшу­юся наружу энергию, и, во-вторых, если поток подходит к дыр­ке не под прямым углом, то вырваться ему труднее; это умень­шение эффективности учитывается умножением на косинус угла с нормалью. Среднее значение косинуса равно ¹/₂. Теперь понятно, почему мы писали U/V=(4s/c)T⁴: так проще выразить поток энергии сквозь маленькую дырку; если отнести поток к единичной площади, то он равен просто sT⁴.

* Поскольку (e^x-1)^-1 =е^-x+е^-2x +..., то интеграл равен

Но