Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

ЕС=nXF_. (26.3)

Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (XCsinEXC =nXCsinXCF) или мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что

EXC=ECN=q_i и XCF=BCN'=q_r,

то мы получим

sinq_i=nsinq_r. (26.4)

Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном n, свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, что­бы отношение синусов q_it- и q_r было равно отношению скоростей в двух средах.

§ 4. Применения принципа Ферма

Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия прин­ципа наименьшего времени. Первое из них — принцип обрати­мости. Мы уже нашли путь из A в В,требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (считая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему времени отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому пути и в обратном направлении.

Другой интересный пример! На пути света под некоторым уг­лом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллель­ными гранями. Свет проходит из точки А в В и, встретив на сво­ем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме уменьшается за счет изменения наклона траекто­рии, а путь в воздухе немного удлиняется. Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы.

Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смот­рим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над гори­зонтом, а оно фактически уже зашло (фиг. 26.7). Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медлен­нее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.

Еще пример того же рода — мираж, который часто на­блюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят на дороге «воду», а когда подъезжают туда, то кру­гом оказывается все сухо, как в пустыне! Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это «отраженный» дорогой свет. На фиг. 26.8 показано, как падающий на дорогу луч света попадает к нам в глаз. Почему? Воздух сильно раска­лен над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным, а потому и скорость света в нем больше, чем в холодном.

Фиг.26.6. Луч света, выходя­щий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу.

Фиг. 26.7. У горизонта Солнце кажется на ¹/₂ градуса выше, чем на самом деле.

Другими словами, свет быстрее проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой.

И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р' (фиг. 26.9). Это означает, конечно, что свет может попасть из точки Р в Р' по прямой линии. Это правильно. Но как устроить так, чтобы свет, идущий от Р к Q, тоже попал в Р'? Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют фокусом. Как это сделать? Поскольку свет всегда выбирает путь с наименьшим временем, то наверняка он не пойдет по другим предложенным нами путям. Единственный способ сделать целый ряд близлежащих траекторий приемлемы­ми для света — это устроить так, чтобы для всех время прохож­дения было точно одинаковым! В противном случае свет пойдет по траектории, требующей минимального времени. Поэтому задача построения фокусирующей системы сводится просто к созданию устройства, в котором свет тратит на всех путях оди­наковое время!

Такое устройство создать просто. Возьмем кусок стекла, в котором свет движется медленнее, чем в воздухе (фиг. 26.10). Проследим путь луча света, проходящего в воздухе по линии PQP'. Этот путь длиннее, чем прямо из Р в Р', и наверняка за­нимает больше времени. Но если взять кусок стекла нужной тол­щины (позже мы вычислим, какой именно), то путь в нем ском­пенсирует добавочное время, затрачиваемое при отклонении луча на траектории PQP'. При этих условиях можно устроить так, чтобы время, затрачиваемое светом на пути по прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути PQP'. Точно так же, если взять частично отклоненный луч PRR'P' (более короткий, чем PQP'), то придется скомпенсировать уже не так много времени, как для прямолинейной траектории, но некото­рую долю времени все же скомпенсировать придется.

Фиг. 26.8. Мираж.

Фиг, 26.9. Оптический «черный ящик».

В резуль­тате мы приходим к форме куска стекла, изображенной на фиг. 26.10. При такой форме весь свет из точки Р попадет в Р'. Всё это нам известно уже давно, и называется такое устройство собирательной линзой. В следующей главе мы вычислим, какой должна быть форма линзы, чтобы получить идеальную фокуси­ровку.

Наконец, последний пример. Предположим, что нам нужно так поставить зеркало, чтобы свет из точки Р всегда приходил в Р' (фиг. 26.11). На любом пути свет должен отразиться от зер­кала, и время для всех путей должно быть одинаковым. В данном случае свет проходит только в воздухе, так что время прохож­дения пропорционально длине пути. Поэтому требование равен­ства времен сводится к требованию равенства полных длин пу­тей. Следовательно, сумма расстояний r1и r₂ должна оставаться постоянной. Эллипс обладает как раз тем свойством, что сумма расстояний любой точки на его кривой от двух заданных точек постоянна; поэтому свет, отразившись от зеркала, имеющего такую форму, наверняка попадет из одного фокуса в другой.

Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке большого 200-дюймового телескопа в об­серватории Паломар использовалась следующая идея. Вообразите себе звезду, удаленную от нас на миллиарды километров; мы хотим собрать весь испускаемый ею свет в фокус. Конечно, мы не можем начертить всю траекторию лучей до звезды, тем не менее мы должны проверить, насколько времена на различ­ных траекториях равны. Мы, конечно, знаем, что если множест­во различных лучей достигло плоскости КК', перпендикулярной направлению лучей, то времена для всех этих лучей будут равны (фиг. 26.12). Далее лучи должны отразиться от зеркала и за равные промежутки времени попасть в фокус Р'.

Фиг. 26 10. Фокусирующая опти­ческая система.

Фиг. 26.11. Эллиптическое зеркало.

Это означает, что мы должны найти такую кривую, для которой сумма рас­стояний ХХ'--Х'Р' будет постоянна, независимо от выбора точки X. Легче всего это сделать, продолжив отрезок XX' до плоскости LL'. Потребуем теперь, чтобы выполнялись соот­ношения А'А"=А'Р',В'В"=В'Р', С'С"=С'Р' и т. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин А 'А+А 'Р' =АА'+А 'А'' будет постоянной для всех точек кривой. Значит, наша кривая есть геометрическое место всех точек, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки. Такая кривая называется параболой; вот зеркало телескопа и было изготовлено именно в форме параболы.