Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

В нашем случае сосуд — это прямоугольный ящик, длина которого b, а площадь поперечного сечения А (см. фиг. 43.2). Если к пластинам приложена разность потенциалов V, то элек­трическое поле Е между пластинами равно V/b. (Электрический потенциал — это работа, совершаемая при переносе единичного заряда от одной пластины к другой. Сила, действующая на единичный заряд, равна Е. Если значение Е одинаково всюду между пластинами, что можно с достаточным основанием пред­положить в нашем случае, то затраченная на единичный заряд работа равна Eb, т. е. V=Eb.) В нашем случае на ионы дей­ствует сила qЕ, где q — заряд иона. Скорость дрейфа иона равна произведению силы на m:

v_др=mF=mq=mqV/b. (43.16)

Электрический ток I равен потоку заряда за 1 сек. Электри­ческий ток через одну из пластин равен, таким образом, полному заряду ионов, достигающих пластины за 1 сек. Если ионы дви­жутся к пластине со скоростью v_др, то за время Т пластины достигнут те ионы, которые находились не дальше, чем на расстоянии v_дрT от нее. Если в единичном объеме содержится n_i. ионов, то за время Т на пластине высадится n_iAv_дрT ионов.

Каждый ион несет заряд q, поэтому

Собранный за время Т заряд=qn_iAv_дрT. (43.17)

Ток / — это отношение собранного за время Т заряда к вре­мени Т:

I=qn_iAv_др. (43.18)

Подставляя сюда скорость дрейфа v_др из (43.16), получаем

I=mq²n_i(A/B)V. (43.19)

Мы выяснили, что ток пропорционален разности потенциалов, это и есть закон Ома, а сопротивление R равно обратной по­стоянной пропорциональности:

1/R=mq²ni(A/B). (43.20)

Мы нашли связь сопротивления со свойствами молекул n_iq и m, которое в свою очередь зависит от t и m. Если мы при помощи атомных измерений определим n_iи q, то, измеряя R, можно определить m, а потом и t.

§ 5. Молекулярная диффузия

Перейдем к другой задаче, для которой нам придется не­сколько изменить метод анализа, — к задаче о диффузии. Пред­положим, что мы взяли ящик, заполненный газом, находящимся в тепловом равновесии, а потом в любое место внутри ящика вспрыснули небольшое количество другого газа. Назовем первоначальный газ газом «фона», а новый газ — «особым» газом. Особый газ начинает распространяться по всему ящику, но распространение это замедляется наличием молекул фона. Явление такого замедленного распространения называется диффузией. Диффузия в основном определяется столкновениями молекул особого газа с молекулами фона. После многих столк­новений особые молекулы более или менее равномерно распре­делятся по всему ящику. Важно не спутать диффузию газа с переносом больших количеств вещества в результате кон­векционных токов. Обычно смешение двух газов происходит именно в результате комбинации конвекции и диффузии. Сейчас нас интересует только такое перемешивание, которое не сопро­вождается «порывами ветра». Газ распространяется только благодаря молекулярному движению, т. е. происходит диф­фузия. Давайте выясним, быстро ли происходит диффузия.

Итак, мы приступаем к вычислению общего потока молекул особого газа, порождаемого молекулярным движением. Общий поток не равен нулю только тогда, когда распределение молекул отличается от равновесного, иначе усреднение молекулярного движения сводит общий поток к нулю. Рассмотрим сначала поток в направлении оси х. Чтобы определить, чему этот поток равен, мы должны вообразить площадку, перпендикулярную к оси, и подсчитать число молекул, пересекающих эту площадку. Чтобы определить общий поток, мы должны считать положи­тельными те молекулы, которые движутся в направлении положительных x, и вычесть из этого числа те молекулы, которые движутся в противоположном направлении. Как мы неоднократно убеждались, число молекул, пересекающих пло­щадку в течение времени DT, равно числу молекул, находя­щихся к началу интервала DT внутри объема, заключенного между нашей площадкой и площадкой, расположенной от нее на расстоянии vDT. (Заметим, что здесь v — настоящая скорость молекулы, а отнюдь не скорость дрейфа.)

Мы упростим наши выкладки, если возьмем площадку еди­ничной площади. Тогда число особых молекул, пересекающих площадку слева направо (справа от площадки лежат положи­тельные x-направления), равно n_vDT, где n_ — число особых молекул в единичном объеме слева от площадки (с точностью до множителя ~¹/₆, но мы такими множителями пренебрежем!). Аналогично, число особых молекул, движущихся справа налево, равно n₊vDT, где n₊ — плотность особых молекул справа от площадки. Если мы обозначим молекулярный поток буквой J, под которой мы будем понимать общий поток молекул через единичную площадку за единицу времени, то получим

или

J=(n_--n₊)v. (43.22)

А что понимать под n_-и n₊? Когда мы говорим «плотность слева от площадки», то как далеко налево? Мы должны изме­рить плотность в том месте, откуда молекула отправляется в свой «свободный полет», потому что число стартующих молекул определяется числом молекул, находящихся в этом месте. Таким образом, n_-— это плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега l слева от нашей воображаемой площадки, а n₊ — плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега справа от нее.

Распределение особых молекул в ящике удобно описывать с помощью непрерывной функции х, у и z, которую мы обозна­чим n_a. Под n_a(х, у, z) нужно понимать плотность особых молекул в маленьком объеме вокруг точки (х, у, z). Тогда

разность (n₊-n_-) можно представить в виде

(n₊-n_-)=(dn_a/dx)Dx=(dn_a/dx) ·2l (43.23)

Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем

J_x=lv(dn_a/dx) (43.24)

Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален про­изводной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности».

Ясно, что мы сделали несколько грубых приближений. Не говоря уже о том, что мы постоянно забывали о множителях, мы использовали v, когда нужно было ставить v_x, а разместив объемы, содержащие молекулы n₊и n_-, на концах перпенди­куляров к площадке, взяли перпендикуляры длиной l. Между тем для тех молекул, которые движутся не перпендикулярно к поверхности, l соответствует длине наклонного пути. Можно исправить эти недоделки; более тщательный анализ показал бы, что правую часть уравнения (43.24) нужно умножить на ¹/₃. Итак, более правильный ответ выглядит следующим образом:

Аналогичные уравнения можно написать для токов вдоль y- иz-направлений.