Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

В качестве простого примера с использованием вектора угло­вой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действующим на твердое тело. Так как мощность — это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной Р=t·w.

Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения. Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором r?» В качестве упражнения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выражением v=wXr, где w — угловая скорость, а r — положение частицы. Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как F_K=2mvXw. Иначе говоря, если в системе координат, вращаю­щейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и ми все хотим описать через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу f_k.

§ 3. Гироскоп

Вернемся теперь снова к закону сохранения момента коли­чества движения. Его можно продемонстрировать с помощью бы­стро вращающегося колеса, или гироскопа (фиг. 20.1).

Фиг. 20.1. Быстро вращающийся гироскоп.

а — ось направлена горизонтально, момент количества движения относитель­но вертикальной оси равен пулю; б — ось направлена вертикально, момент количества движения относительно вер­тикальной оси должен остаться равным нулю; человек и стул крутятся в направлении, противоположном вращению колеса.

Если стать на крутящийся стул и держать вращающееся колесо в го­ризонтальном положении, то его момент количества движения будет направлен горизонтально. Момент количества движения относительно вертикальной оси нельзя изменить из-за фикси­рованного направления оси стула (трением пренебрегаем). Если теперь повернуть ось с колесом вертикально, то колесо приобретет момент количества движения относительно верти­кальной оси. Однако система в целом (колесо, вы сами и стул) не может иметь вертикальной компоненты, поэтому вы вместе со стулом должны крутиться в направлении, обратном враще­нию колеса, чтобы скомпенсировать его.

Прежде всего давайте более подробно проанализируем явле­ние, которое мы только что описали. Самое удивительное, в чем нам следует разобраться, это откуда берутся силы, раскручива­ющие нас вместе со стулом, когда мы поворачиваем ось гиро­скопа вертикально. На фиг. 20.2 показано колесо, быстро вра­щающееся вокруг оси у, т. е. его угловая скорость направлена по этой оси.

Фиг. 20.2. Гироскоп.

В ту же сторону направлен и момент количества движения. Предположим теперь, что мы хотим вращать колесо относительно оси х с малой угловой скоростью W; какая сила для этого требуется? Через малый промежуток времени Dt ось займет новое положение, отклонившись от горизонтального положения на угол Dq. Поскольку основная часть момента ко­личества движения происходит от вращения колеса (медленное вращение вокруг оси х дает очень малый вклад), мы видим, что вектор момента количества движения изменяется. Каково же изменение этого вектора? Он остается тем же самым по величине, однако направление его меняется на угол Dq. Величина вектора DL поэтому равна DL=L₀Dq; в результате возникает момент силы, равный скорости изменения момента количества движе­ния t=DL/Dt=L₀(Dq/Dt)=L₀W. Учитывая направление раз­личных величин, мы видим, что

t=WXL₀. (20.15)

Таким образом, если W и l₀ направлены горизонтально, как это показано на фигуре, то t направлен вертикально. Чтобы уравновесить такой момент, к концам оси в горизонтальном направлении должны быть приложены силы F и -F. Откуда берутся эти силы, кто их прикладывает? Да мы сами, собст­венными руками, когда стараемся повернуть ось колеса в вер­тикальное положение. Но Третий закон Ньютона требует, что­бы равные и противоположно направленные силы (и равный, но противоположно направленный момент) действовали на нас. Они и заставляют нас крутиться вокруг вертикальной оси z в противоположном направлении.

Этот результат можно обобщить на быстро вращающийся волчок. В обычном вращающемся волчке сила тяжести, дейст­вующая на его центр масс (ц.м.), создает момент относительно точки соприкосновения волчка с полом (фиг. 20.3).

Фиг. 20.3. Быстро вращающийся волчок.

Заметьте, что направление вектора момента силы совпадает с направле­нием прецессии.

Этот момент действует в горизонтальном направлении и заставляет волчок прецессировать, т. е. ось его будет описывать круговой конус вокруг вертикальной оси. Если W — угловая скорость прецес­сии (направленная вертикально), то мы снова находим

Таким образом, если к быстро вращающемуся волчку прило­жить момент сил, то возникнет прецессия в направлении этого момента, т. е. под прямым углом к силам, создающим момент.

Итак, теперь мы можем утверждать, что поняли прецессию гироскопа, и математически мы действительно поняли ее. Однако вся эта математика может показаться нам в каком-то смысле «колдовством». Между прочим, по мере углубления во все более сложную физику многие простые вещи легче вывести математически, чем действительно понять их фундаментальный или простой смысл. По мере того как вы будете переходить ко все более и более современным работам по физике, то обнару­жите одно странное обстоятельство: математика дает резуль­таты, которые никто не может понять непосредственно. В ка­честве примера можно взять уравнение Дирака, которое полу­чается очень просто и красиво, но понять его следствия труд­новато. В нашем частном случае прецессия волчка кажется чудом, каким-то тайнодействием с прямыми углами, окруж­ностями, крутящимися силами и правовинтовыми болта­ми. Но давайте все-таки попытаемся понять ее физическую сущность.

Как можно объяснить этот момент сил с помощью реально действующих сил и ускорений? Заметьте, что, когда колесо прецессирует, частицы колеса в действительности не движутся уже в одной плоскости (фиг. 20.4).

Фиг. 20.4. Движение частицы вращающегося колеса, показанного на фиг. 20.2,

При повороте оси эти частицы движутся по кривой линии.

Мы показали ранее (см. фиг. 19.4), что частица, которая пересекает ось прецес­сии, движется по кривому пути. Но для этого требуется какая-то боковая сила, которая возникает благодаря производимому нами давлению на ось колеса. Это давление по спицам переда­ется частицам обода. «Постойте,— скажете вы,— а как относи­тельно частиц на другой стороне колеса, которые движутся в об­ратном направлении?» Нетрудно догадаться, что действующие на них силы должны быть направлены в противоположную сто­рону, поэтому полная сила должна быть равна нулю. Таким образом, силы уравновешиваются, но одна из них приложена на одной стороне колеса, а другая — на другой. Эти силы мож­но было бы приложить непосредственно к колесу, однако из-за того, что колесо твердое, их можно приложить к оси, а через спицы они передаются на колесо.

До сих пор мы доказали, что, если колесо прецессирует, оно может скомпенсировать моменты сил, вызванные силой притя­жения или какой-то другой причиной. Однако мы только пока­зали, что прецессия есть одно из возможных решений уравне­ния. Другими словами, только при том условии, что действует момент и колесо запущено правильно, мы получим чистую пре­цессию. Но мы не доказали (и это вообще неверно), что чистая прецессия — наиболее общее движение вращающегося тела под действием момента сил. Общее движение включает, кроме того, какие-то колебания и отклонения от главной прецессии. Эти колебания называются нутацией.