Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поля­ризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Е_х. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е_х. Анало­гичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/3e₀. (Не за­будьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае куби­ческого кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в вол­не, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

Именно это локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следую­щим образом:

Р =e₀NaЕ_лок. (32.29)

Подставляя теперь Е_лок из формулы (32.28), находим

или

Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорцио­нальна Е (для синусоидального поля). Однако константа про­порциональности будет уже e₀/Na/[1-(Na/3)], а не e₀Nallfa, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

Более удобно переписать это в виде

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. По­скольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимо­действуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцил­ляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень боль­шим. Таким образом, все w₀ и g твердого вещества будут дру­гими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что

Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная a будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточ­ности приближения локального поля в упорядоченных кри­сталлах, т. е. выражения (32.28) — эффекты, которые мы обсуж­дали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через n_jчисло атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:

где каждая a_j будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя прелом­ления. Величина 3(n²-1)/(n²+2) задается комплексной функ­цией частоты, каковой является средняя атомная поляризуе­мость a(w). Точное вычисление a(w) (т. е. нахождение f_k, g_kи w_0k) для плотного вещества — одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.

§ 4. Комплексный показатель преломления

Обсудим теперь следствия нашего результата (32.33). Прежде всего обратите внимание на то, что a — комплексное число, так что показатель преломления n тоже оказывается комплексным. Что это означает? Давайте возьмем и запишем n в виде веществен­ной и мнимой частей:

где n_Rи n_j — вещественные функции w. Мы написали in_jс отрицательным знаком, так что n_jдля обычных оптических материалов будет положительной величиной. (Для обычных оптически неактивных материалов, которые не служат сами источниками света, как это происходит у лазеров, g—положитель­ное число, а это делает мнимую часть n отрицательной.) Наша: плоская волна запишется теперь через n следующим образом:

Е_х=Е₀е^-iw(t-nz/c).

Если подставить n в виде выражения (32.35), то мы получим

и с увеличением z она экспоненциально убывает. График напря­женности электрического поля как функции от z в некоторый момент времени и для n_I» n_R/2p показан на фиг. 32.1.

Фиг. 32.1. График поля Е_х в некоторый момент t при n_I»n_R2/p.

Мнимая часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что

Интенсивность ~е^-2wnIz/c.

Часто это записывается как

Интенсивность ~е^-bz,

где b=2wn_I/с — коэффициент поглощения. Таким образом, в уравнении (32.33) содержится не только теория показателя преломления вещества, но и теория поглощения им света.

В тех материалах, которые мы обычно считаем прозрачными, величина c/wn_I, имеющая размерность длины, оказывается гораздо больше толщины материала.

§ 5. Показатель преломления смеси

В нашей теории показателя преломления имеется еще одно предсказание, которое можно проверить экспериментально. Предположим, что мы рассматриваем смесь двух материалов. Показатель преломления смеси не будет средним двух показа­телей, а определяется через сумму двух поляризуемостей, как в уравнении (32.34). Если, скажем, мы интересуемся показа­телем преломления раствора сахара, то полная поляризуемость будет суммой поляризуемостей воды и сахара. Но каждая из них, разумеется, должна подсчитываться исходя из данных о числе молекул N данного сорта в единице объема. Другими сло­вами, если в данном растворе содержится N₁молекул воды, поляризуемость которой a₁, и N₂молекул сахарозы (C₁₂H₂₂O₁₁), поляризуемость которой a₂, то мы должны получить

Этой формулой можно воспользоваться для экспериментальной проверки нашей теории — измерения показателя для различ­ных концентраций сахарозы в воде. Однако здесь мы должны сделать несколько допущений. Наша формула предполагает, что при растворении сахарозы никакой химической реакции не происходит и что возмущение индивидуальных осцилляторов при различных частотах отличается не слишком сильно. Поэ­тому наш результат, безусловно, будет только приближенным. Тем не менее давайте посмотрим, насколько он хорош.