Дорожная Пыль в стране магов (СИ)

     Наконец, необходимо знать, полна или не полна система аксиом. В полной системе аксиом для любого правильно построенного утверждения можно получить доказательство либо его истинности, либо его ложности. То есть, в отношении любого факта теории можно установить, истинен ли он. Например, математическая логика имеет полную систему аксиом. В неполной системе существуют такие факты теории, в отношении которых нельзя установить их истинность или ложность. Это означает, что к исходным аксиомам можно добавить  такое недоказуемое утверждение или его отрицание и получить две разные теории: у одной  присутствует указанное утверждение, а у другой – его отрицание. Если теперь перейти к модели теории с неполной системой аксиом, то при наличии такого недоказуемого утверждения уже приходится иметь две модели, соответствующие двум новым теориям. Вот и получается, что неполные теории как бы расщепляются на множество теорий и соответственно требуют множество моделей. Ну, что я тебя ещё не утомил? - поинтересовался Кэкэ. - Эти начальные вещи ты должен хорошо понять, чтобы не мучить меня потом лишними вопросами.

     Он встал, постоял в задумчивости, потом снова сел, и снова встал. Было видно, что он хочет что-то сказать, но не знает как. Наконец, он сел, подышал на стёкла очков и протёр их вынутым из кармана платком.

- Тут такое дело... Не знаю, стоит ли тебе сейчас говорить об этом...

- Говори, конечно. Я же ради этого и пришёл к тебе.

Кэкэ внимательно посмотрел на Дорожную Пыль, как бы оценивая на глазок его возможности.

- Как бы тебе сказать... Я, видишь ли, по молодости не очень доверял тому, что скажу тебе сейчас. Во-первых, хочу сказать о непротиворечивости. Курт Гёдель показал, что непротиворечивость арифметики нельзя доказать средствами самой арифметики. Но арифметика реализуется в окружающем нас мире и не только в нашем. Значит, она непротиворечива. Это понимают все, хотя доказательства мы пока не знаем. Итак, получается, что оно обязательно есть, хотя и неизвестно нам.

- Так здорово же! В чём проблема?

- Ты наверное плохо понял меня. Давай ещё раз. Арифметика непротиворечива. Так? Это доказательство не может быть получено средствами самой арифметики, но оно как бы есть. Значит, важнейшая информация об арифметике, в данном случае о её непротиворечивости, находится как бы вне арифметики. Но тогда и информация о теории, представляющей мир, зачастую находится вне этой теории. Ты понимаешь, что это такое? Важнейшая информация о мире, который является воплощением некоторой теории, не может быть получена только исследованием этого мира. Для ее получения мы должны обращаться к чему-то более высокому, не от мира сего.

- Ты про Бога, что ли?... Слушай! Может быть это и есть то самое доказательство непротиворечивости арифметики?

- Не понял. Ты о чём? - удивился Кэкэ.

- Ну, как же? Арифметика реализуется в нашем мире? Да! Наш мир существует? Да! Противоречивый мир мог бы существовать? Нет! Значит, арифметика непротиворечива! И все эти рассуждения, как ты видишь, находятся вне арифметики. Ну, как тебе такая мысль?

- Ну, ты даёшь! Во ученичёк свалился на мою голову! Не сидится им на помойке и всё тут. Ладно. Мы вернёмся к этому. Обязательно вернёмся. Теперь о неполноте. Тот же самый Курт Гёдель показал, что арифметика неполна. То есть в ней есть такие утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Он даже построил такие утверждения. Так вот, они очень странные. Вернее не так. Они отражают известные логические парадоксы. И по началу создаётся впечатление, что этим всё и ограничивается, и что всё это очень искусственно и не по делу. Шли годы, я знакомился с другими доказательствами, другими интерпретациями. Моё мнение менялось. Сейчас я серьёзно отношусь к этому. Это не выверт и не экзотика. Вот что я хотел тебе сказать. Для того чтобы что-то изменить, нам пришлось бы пересмотреть саму логику. Таких безрассудных смельчаков я не знаю. Это всё равно, что бросить вызов Господу.

- Слушай, у тебя как-то странно получается: говоришь об арифметике, а потом РАЗ (!) и перепрыгиваешь на мир. Не очень-то сопоставимые масштабы. Не кажется тебе? Может быть в этом ошибка?

- Хорошо, давай, ещё раз вернёмся к миру как модели системы аксиом. Возьмём арифметику с ее аксиомами Пеано. Арифметика точно и безусловно реализуется нашим миром. Ты можешь это проверить на яблоках, спичках, калькуляторах или как ещё тебе заблагорассудится. Вообще невозможно себе представить мир, в котором она не выполняется. Если захочешь, я потом как-нибудь тебе это поясню. Итак, аксиомы арифметики входят в множество аксиом мира. И получается, что если уж у арифметики есть эти проблемы, то и в более сложной системе аксиом, включающей арифметику, они есть и подавно. Поэтому любая система аксиом мира неполна. Тут и к бабке ходить не надо. Что это значит для самого мира? Итак, в теории есть недоказуемое утверждение, а значит, в миру ему соответствует неопределённое свойство. Понимаешь? В реальном мире, который соответствует неполной системе аксиом должны быть неопределённости, когда ты принципиально не можешь понять, что же там на самом деле, потому что на самом деле там именно неопределённость Ты мне ничего не хочешь сказать? - спросил Кэкэ и вопросительно посмотрел на Дорожную Пыль. - Ладно,- махнул он рукой, - проехали. Эти неопределённости могут разрешаться с помощью какой-нибудь системы выбора. Что это значит? Это значит, что, как я тебе говорил, недоказуемое утверждение можно добавить к системе аксиом. А можно добавить его отрицание. И мы тогда получим две различных системы аксиом, которым будет соответствовать два уже немного различающихся мира. Но это породит новые недоказуемые утверждения, потому что неполнота системы аксиом означает невозможность вычерпать недоказуемые истины простым их добавлением к аксиомам. В миру это будет отражаться в виде расщепления мира на два новых. Итак, принятие решения по неопределённости удваивает количество миров и порождает в них новые неопределённости. Вот так и происходит развитие мироздания: уточнение, принятие решения, расщепление, появление новых неопределённостей, и так по кругу. Так что существование множества миров в мироздании совершенно необходимая вещь. Да, что я тебя убеждаю?! Ты же сам прямой свидетель этого, - хлопнул себя по коленкам Кэкэ.

Дорожная Пыль хотел спросить что-то важное, но видимо никак не мог сформулировать это. Так часто бывает: хочешь спросить что-то важное, а спрашиваешь какую-то глупость. Наверное это происходит потому, что плохо понятое важное даже при изменении одного слова легко превращается в глупость.

- Вот хочу тебя спросить, - выдавил, наконец, из себя Дорожная Пыль, - Почему бы Господу не иметь одну модель аксиом мира? Очень частную, но одну?

Кэкэ засмеялся, встал и отряхнул с брюк хвойные иголочки.

- Ну, ты фрукт! Сам прошёл между мирами, а тупишь не по-детски. Как бы тебе сказать? Иметь один мир ему не очень интересно, скучновато и невыгодно.

- Не понял?

- Вот смотри. Чтобы запускать спутники, нужны космодром, глобальная система управления, посадочный комплекс и многое другое. Будешь ты пускать один спутник в год или тысячу, всё это надо иметь и оплачивать. Поэтому, если уж ты пускаешь спутники, надо стараться запускать их как можно больше; только так и сэкономишь. Тоже и с мирами. Понял? Конечно, я шучу, но лишь отчасти. Немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц сформулировал принцип максимального разнообразия.