Юный техник, 2010 № 11

Определите глубину озера в данном месте. Атмосферное давление равно Р₀ = 10⁵ Па, g = 10 Н/кг.

Задача 6. Определите наименьшую площадь плоской однородной льдины толщиной h = 50 см, способной удержать на воде автомобиль массой М = 1,5 т. Поверхность льдины не заливается водой.

Задача 7. Груз массой m₁ = 300 кг поднимают подъемным краном с постоянной скоростью на высоту h = 20 м за время t₁ = 60 с. Определите мощность, развиваемую мотором крана. За какое время на ту же высоту будет равномерно поднят груз массой m₂ = 200 кг? Считать, что мощность мотора крана одинакова в обоих случаях.

Задача 8. На сколько километров пути хватит V = 10 л бензина для автомобиля, двигатель которого развивает при скорости v = 54 км/ч полезную мощность Р = 69 кВт и имеет КПД 40 %? Удельная теплота сгорания бензина q = 4,6∙10⁷ Дж/кг, плотность бензина ρ = 800 кг/м³.

Значение КПД двигателя определяется отношением полезной работы к количеству теплоты, выделившемуся при сгорании топлива.

Задача 9. В сосуд с водой при температуре t = 20 °C помещают лед при температуре t₀ = 0 °C. После того как лед частично растаял и установилось тепловое равновесие, оказалось, что масса льда уменьшилась на m_л = 84 г. Определите начальную массу воды в сосуде. Удельная теплоемкость воды с_в = 4200 Дж/(кг∙К), удельная теплота плавления льда λ_л = 330 кДж/кг. Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь. Опыт проводился при нормальном атмосферном давлении.

Задача 10. В осветительном приборе, работающем от сети напряжением 220 В, используются три одинаковые параллельно соединенные лампочки накаливания. Каждая из них при напряжении 220 В имеет номинальную мощность 75 Вт. Одна из ламп перегорела, и ее заменили на энергосберегающую лампу, потребляющую при том же напряжении на 80 % меньше электроэнергии, чем лампочка накаливания. Как и на сколько изменится сила тока, потребляемая осветительным прибором? Сопротивлением проводов пренебречь.

Задача 11. Автомобиль разгоняется с места по прямолинейному участку дороги со скоростью v = 108 км/ч за время τ = 10 с. Во сколько раз отличаются расстояния, пройденные автомобилем за первую и последнюю секунды разгона? Движение автомобиля считать равноускоренным.

Задача 12. Брусок массой m = 2,8 кг перемещают вверх вдоль вертикальной стены, прикладывая направленную под углом а к вертикали силу Р, модуль которой равен 70 Н. Найдите ускорение бруска, если известно, что sin α = 0,6, а коэффициент трения скольжения между стеной и бруском μ = 0,4. Считать g = 10 м/с².

Задача 13. На конце однородного стержня длиной L = 2 м и массой М = 1 кг закреплено пустое ведро такой же массы. Стержень подвешен таким образом, что вся конструкция находится в равновесии, при этом стержень располагается горизонтально. В ведро доливают некоторое количество воды. Для того чтобы стержень остался в равновесии, точку подвеса пришлось передвинуть на l = 30 см. Какой объем воды налили в ведро?

Задача 14. На сайте одной из фирм, занимающихся организацией полетов на аэростатах (воздушных шарах), указаны основные характеристики теплового аэростата модели «07АТН»: объем, занимаемый воздухом в аэростате, равен V = 2000 м³, масса оболочки и оборудования (газовые горелки для подогрева воздуха + баллоны) составляет m₁ = 250 кг. До какой температуры следует прогреть воздух внутри оболочки, чтобы аэростат смог поднять пилота и двух пассажиров (m_п = 250 кг)? При расчетах принять температуру окружающего воздуха, равной t = 15 °C, его давление, равным нормальному атмосферному давлению, а оболочку считать тонкой и нерастяжимой.

Задача 15. Два моля идеального одноатомного газа находятся в равновесном состоянии при температуре Т₁ = 250 К. Газ сначала нагревают изобарно, а затем изохорно. В результате давление газа увеличилось на 20 %, а объем увеличился в 1,5 раза. Какую суммарную работу совершил газ? Какое суммарное количество теплоты он получил в этих двух процессах?

Задача 16. Маленький проводящий шарик массой m = 90 мг подвешен в вакууме на легкой непроводящей нити и имеет заряд q₁ = 10 нКл. После того, как под шариком на одной с ним вертикали на расстоянии r = 10 см от него поместили такой же шарик, имеющий некоторый отрицательный заряд, сила натяжения нити увеличилась на 30 %. Шарики приводят в соприкосновение и разводят на прежнее расстояние. Найдите новое значение силы натяжения нити.

1. Решите уравнение:

(х — 2)³ + (х + 2)³ = 2(х — 3) (х² + 3х + 9).

2. Решите неравенство:

(5(4 — Зх)/6) — (2(3х + 4) — 5(6x + 1)/14) >= (2х — 4)/21

3. Сейчас отец старше сына в четыре раза, а через пять лет он будет старше сына только в три раза. Сколько лет им обоим?

4. На лугу паслись лошади под присмотром деревенских мальчишек. Если бы вы пожелали узнать, сколько всего ног на лугу, то насчитали бы 140 ног. А если бы пересчитали головы, то оказалось бы, что всех голов — лошадиных и человеческих — 37. Сколько на лугу лошадей и сколько мальчишек?

5. Ластик стоит на 25 % дешевле карандаша, а ручка — на 20 % дороже карандаша. На сколько процентов ручка дороже ластика?

6. Артем может выполнить некоторую работу за 4 дня, Борис выполнит ту же работу за 6 дней, а Володя — за 3 дня.

а) За какое время они выполнят работу, если будут работать вместе?

б) За совместную работу им заплатили 2700 рублей.

Сколько заработал каждый из них?

7. При каких значениях параметра а уравнение х² — ах + 3 = 0

а) имеет корень, равный 7;

б) имеет ровно одно решение;

в) не имеет решений?

8. В сплав меди и олова, содержащий 22 кг олова, добавили 15 кг меди, после чего содержание меди в сплаве повысилось на 33 %. Сколько весил сплав первоначально?

9. Через какое время после того, как часы показывали 5 часов ровно, минутная стрелка догонит часовую? (Стрелки часов движутся плавно, без скачков.)

10. Биссектриса угла А при основании АС равнобедренного треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке К.

Найдите угол ABC, если известно, что треугольники АВК и АКС — равнобедренные с основаниями АВ и СК.

11. При каких значениях параметра а прямые, заданные уравнениями у = 13а²х + а и у = (а⁴ + 36)х + 3а+ 4, параллельны, но не совпадают?

12. При каких целых значениях n дробь (2n² + n — 1)/n + 2— есть целое число?

13. Вычислите sin²a — sin⁴a, если

tg²α + ctg²α + (1/sin²α) + (1/cos²α) = 7

14. Сократите дробь:

15. Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвертый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите первый член арифметической прогрессии.

16. В равнобедренном треугольнике PQR на основании PR взята точка N. Окружности, вписанные в треугольники PQN и QRN, касаются отрезка QN в точках А и В. Найдите длину отрезка АВ, если RN — PN = 8.