По следам сенсаций

Парадокс Греллинга возникает из вопроса: к какому классу отнести прилагательное «несамоприменимый»? Самоприменимо оно или же нет? Допустим, что прилагательное «несамоприменимый» несамоприменимо. Тогда оно (согласно приведённому определению Греллиига) самоприменимо! А раз оно самоприменимо, то на каком же основании оно названо нами несамоприменимым?!

Вот ещё один логический сюрприз. Рассмотрим выражение: «Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить посредством меньше чем тридцати шести слогов». Между тем только что написанное предложение при помощи тридцати пяти слогов (посчитайте и убедитесь сами!) определяет не что иное, как число, которое, по определению, нельзя определить меньше чем набором из тридцати шести слогов!

Подобными несуразицами изобилует история логики. Читатель может испробовать свои силы, пытаясь выбраться из перечисленных смысловых лабиринтов. (С тех пор как возникла эта проблема, не было найдено ни одного решения, с которым бы безоговорочно согласились учёные.)

Впрочем, правильно ли сказано: «смысловых лабиринтов»?

У каждого лабиринта, каким бы запутанным он ни был, есть выход. И если посетители знаменитого Критского лабиринта чересчур долго блуждали по хитросплетениям его ходов, неизменно попадая в лапы Минотавра, то виноваты в этом были они сами. Отмечай люди простейшими приёмами путь, то, даже не обладая развитой способностью ориентироваться, они получили бы не менее надёжное средство спасения, чем пресловутая нить Ариадны. Иными словами, в подобных случаях нас подводит лишь пренебрежение законами логики и геометрии. Другое дело парадоксы. Их формулировки настолько просты, настолько прозрачны, что и блуждать-то, собственно, негде: нет лабиринта как такового! Но сколь бы изощрённы ни были наши познания в области логики и математики, никакой, даже самый отточенный, меч разума не в силах разрубить этот логический гордиев узел.

И ещё одно уточнение. Под парадоксом обычно понимают нечто противоречащее нашей интуиции, нашему повседневному опыту, нашим непосредственным ощущениям. Парадоксальным в этом смысле казалось откровение астрономов-гелиоцентристов: не Солнце вращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Но как бы ни бунтовала наша интуиция, логика научного мышления неумолимо подводит нас к такому заключению. Между тем существуют парадоксы иного рода. Используя тот же логический аппарат, те же приёмы рассуждения — а ведь они шлифовались тысячелетиями и на них основаны все наши знания! — мы неизбежно приходим к неразрешимому противоречию. Значит, речь идёт о несовершенстве, об изъянах, глубоко коренящихся в самой логической системе нашего мышления.

Правда, у читателя может возникнуть вопрос: кому нужна вся эта казуистика? Да и нужна ли она вообще?

Приведённые смысловые нелепости не просто забавные трюки логики. Не раз парадоксы были связаны с перестройкой основ мышления.

Особенно поучительна эпопея знаменитых апорий (парадоксов) Зенона, которые двадцать пять, столетий назад оказались самой настоящей сенсацией. Впрочем, не просто сенсацией, которая ненадолго травмирует психику обывателя, а потом бесследно улетучивается из головы. Они оказали заметное влияние на прогресс математики. И до сих пор не сходят со страниц серьёзнейших математических, логических, философских работ, где учёные ломают копья и головы: преодолены или нет трудности, порождённые этими ужасными апориями?

…Кто из читавших гомеровскую «Илиаду» не помнит сцену погони грозного Ахилла за «шлемоблещущим», но порядком струхнувшим Гектором?

Сильный бежал впереди, но преследовал много сильнейший.„

Правда, гонка вокруг Трои всё-таки закончилась поражением Гектора. Но не в беге! В смертельной схватке. А перед поединком Ахиллу пришлось остановиться, так и не догнав врага. Что ж, супостат был ловок и быстроног. А если бы он был неуклюж и тихоходен?.

Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придётся догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперёд. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?

С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя — стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока.

А нет ли «ахиллесовой пяты» у самих рассуждений Зенона?

В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя даёт ей фору не только в расстоянии — 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу — всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти ещё на 10 саженей вперёд. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдёт ещё на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится — пусть на одну десятую сажени, но всё-таки вперёд, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +…