Есть идея!

И в математике, и в естественных науках интересными задачами, бросающими вызов исследователю, принято считать такие, для решения которых не существует готовых методов. Столкнувшись с такой задачей, исследователь долго, а иногда и мучительно размышляет, перебирая в памяти всю информацию, имеющую хотя бы отдаленное отношение к интересующей его теме, в надежде, что удачная догадка подскажет нужное решение. Именно поэтому решение занимательных логических задач служит великолепной тренировкой к решению важных научных проблем.

Некоторые задачи в этой главе связаны с серьезной математикой еще более тесными узами. Например, задача «В костюмах одного цвета» и следующая за ней задача легко решаются табличным методом, аналогичным широко используемому в формальной логике методу таблиц истинности. В одной из этих задач встречается важное логическое отношение — так называемая «материальная импликация». В исчислении высказываний (одном из разделов математической логики, имеющем первостепенное значение) импликацию принято обозначать знаком ⊃ или →. Отношение A ⊃ B означает, что если A истинно, то B должно быть истинно. Одно из возможных истолкований этого логического отношения (на языке теории множеств) гласит: все элементы множества B содержатся в множестве A.

Слово «индукция» имеет по существу два различных значения. Неполная индукция — это процесс восхождения от частного к общему. Ученый, наблюдающий частные случаи (например, замечающий, что некоторые вороны черные), делает общее заключение (о том, что все вороны черные). Это заключение никогда не носит характер достоверного утверждения: вполне возможно, что на свете существует по крайней мере одна белая ворона, которая еще не попадалась на глаза наблюдателю.

Математическая индукция, с которой вы познакомитесь в комментариях к тестам со шляпами в задаче «Аховы награды», представляет собой совершенно иной процесс, хотя и в математической индукции мы имеем дело с восхождением от частного к общему, охватывающему информацию о бесконечной последовательности частных случаев. Математическая индукция — неоценимое средство исследования почти во всех разделах математики.

Большинство задач, собранных в этой главе, по сложности и серьезности уступает задаче о шляпах. Тем не менее и они позволят вам отточить свое остроумие, научат внимательно следить за всякого рода словесными «ловушками», расставленными в условиях задачи, и в особенности оценить преимущества непредвзятого, широкого поиска возможного подхода к решению задачи. Чем больше подходов вы проанализируете, сколь бы причудливыми и экзотическими они ни были, тем больше шансов у вас на успех. В этом один из секретов всех творчески мыслящих математиков.

Находчивый шофер

Случилось это в Нью-Йорке. Некая дама остановила такси и попросила отвезти ее домой.

По дороге она без умолку болтала и довела шофера до крайнего исступления.

Шофер. Прошу прощения, мадам, но я не слышу ни слова из того, что вы говорите. Я глух, как телеграфный столб, а мой слуховой аппарат, как назло, сегодня целый день не работает.

Услышав это, дама смолкла. Но когда она вышла у подъезда своего дома и машина скрылась за углом, она вдруг сообразила, что шофер вовсе не был глух.

Как дама догадалась, что шофер ей солгал?

Ситуация, с которой мы сталкиваемся в истории о болтливой даме и шофере такси, типична. Она неоднократно возникает и в повседневной жизни, и в науке: то, что на первый взгляд кажется хаотическим нагромождением фактов или цепочкой логически не связанных поступков, после тщательного анализа может предстать в ином свете и, как по мановению волшебной палочки, вдруг стать ясным и понятным.

Если вы сразу не поняли, как болтливая дама догадалась, что глухота шофера такси была мнимой, поставьте себя на место дамы и мысленно проиграйте всю вереницу событий, разыгравшихся с того момента, как дама остановила такси, до того момента, как шофер высадил ее из машины. Что бы вы сделали прежде всего, сев в такси? Назвали водителю адрес того места, куда вам нужно ехать. Но если водитель глух, то как бы он узнал, куда вас везти? Расплатившись с шофером, дама вдруг поняла, что ее обманули: если бы шофер был глухим, то как бы он услышал, куда ему следует ехать?

В логических задачах-головоломках, основанных на реальных или правдоподобных житейских ситуациях, многое нередко не договорено и молчаливо подразумевается. Не является исключением и эта задача. Например, глухой водитель вполне бы мог «прочитать» адрес по губам пассажира. Такое решение задачи вполне допустимо и свидетельствует о нетривиальности того, кто до него додумается.

В истории науки тщательный и всесторонний анализ определенной последовательности событий или явлений нередко приводил к важным открытиям. Прекрасный тому пример — разгадка языка пчел. Ученых давно интересовало, каким образом рабочая пчела, вернувшись в улей, сообщает другим рабочим пчелам, где можно взять побольше меда. Карл фон Фриш заметил, что пчела-разведчица по возвращении исполняет на летке замысловатый «танец». Не может ли характер танца быть носителем информации о направлении на источник меда и расстоянии от улья до него? Поставив серию изящных экспериментов, Карл фон Фриш доказал, что его догадка верна.

Если вам понравилась задача о шофере такси и болтливой даме, то мы можем предложить вам еще две задачи о такси.

Пассажир, которому нужно добраться до аэропорта Кеннеди, садится в такси у отеля «Уолдорф-Астория» в Нью-Йорке. Поскольку городские улицы забиты машинами и почти на каждом перекрестке возникает пробка, такси развивает среднюю скорость всего лишь 30 км/ч. Общее время в пути составляет 80 мин, и пассажир уплачивает по счетчику соответствующую сумму. В аэропорту в такси садится другой пассажир, которому по удивительному стечению обстоятельств также нужно добраться до отеля «Уолдорф-Астория». Водитель едет по тому же маршруту с той же средней скоростью, но на этот раз дорога занимает у него 1 ч 20 мин. Чем объяснить, что на дорогу туда и обратно уходит различное время?

Большинство людей не сразу сознает, что различие во времени на дорогу от гостиницы до аэропорта и от аэропорта до гостиницы лишь кажущееся: 80 мин по продолжительности ничем не отличаются от 1 ч 20 мин. Испытав эту незамысловатую задачу-шутку на своих знакомых, вы убедитесь, как часто попадаются в почти не замаскированную «ловушку».

А вот еще задача о такси того же толка.

Представьте себе, что вы водитель такси. Ваша машина окрашена в желтый и черный цвета, и вы ездите на ней 7 лет. Один стеклоочиститель у машины сломан, карбюратор барахлит. Бак вмещает 20 галлонов бензина, но сейчас наполнен лишь на три четверти. Сколько лет водителю такси?

Это задача — еще более «злая» шутка, чем предыдущая, хотя ее условия логически непротиворечивы. С самого начала в ней говорится, что вы водитель такси. Значит, и лет водителю столько же, сколько вам.

В костюмах одного цвета

Избавившись от болтливой дамы, шофер такси вздохнул с облегчением. Следующий рейс был несравненно легче: трем молодым парам не терпелось поскорее попасть в дискотеку. Одна девушка была в красном костюме, вторая — в зеленом, третья — в синем. Их партнеры также были в красном, зеленом и синем.

Оказавшись во время танцев рядом с девушкой в зеленом, юноша в красном обратился к ней.