Эврика! Радость открытия. Архимед

Утверждение 24

Площадь, заключенная между спиралью, описанной в течение первого оборота и первой из прямых, находящихся на начале вращения, будет третьей частью первого круга.

Книга I

Сделаем следующие допущения.

1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

Утверждение 1

Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны.

Утверждение 2

Неравные тяжести на равных длинах не уравновешиваются, но перевешивает большая.

Утверждение 6

Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям.

Утверждение 7

И далее, если величины будут несоизмеримыми, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам.

Утверждение 10

У всякого параллелограмма центром тяжести будет точка, в которой встречаются диаметры (то есть диагонали).

Утверждение 14

У всякого треугольника центром тяжести будет точка, в которой встречаются прямые, проведенные из углов к серединам сторон.

Книга II

Утверждение 8

У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания.

Архимед Гелону

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества.

[...] Что касается меня, то я постараюсь показать тебе при помощи геометрических доказательств, которые ты можешь понять, что среди чисел, которые получили от нас название и опубликованы в адресованной (мной) Зевксиппу книге, некоторые превосходят не только число песчинок в объеме, равном заполненной, как мы сказали, Земле, но даже в объеме, равном миру. Как ты знаешь, большинство астрономов называют миром шар, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен прямой, заключающейся между центрами Солнца и Земли. Но Аристарх Самосский [...] предполагает, что неподвижные звезды и Солнце находятся в покое, а Земля обращается вокруг Солнца по окружности, расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сфера неподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг, по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится к расстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошо известно, что это невозможно, так как центр сферы не имеет никакой величины, то нельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы...

Сделаем следующие предположения: во-первых, окружность Земли составляет приблизительно 300 мириад стадиев, но не больше, [...] затем, что диаметр Земли больше диаметра

Луны, а диаметр Солнца больше диаметра Земли, принимая то же, что и большинство предшествующих астрономов, [...] далее, что диаметр Солнца приблизительно в тридцать раз больше диаметра Луны, но не больше, хотя из предшествующих астрономов Евдокс считал его только в девять раз больше, Фидий же, мой отец, — в двенадцать раз больше, а Аристарх пытался доказать, что диаметр Солнца более чем в восемнадцать раз, но менее чем в двадцать раз больше диаметра Луны.

[...] Кроме того, я думаю, что было бы полезным изложить здесь правила наименования чисел, чтобы другие (читатели), которые не имели в руках книги, написанной мной Зевксиппу, не затруднялись тем, что в настоящей книге об этих числах ничего не сказано. Так вот для чисел до десятков тысяч (мириад) остаются обычно употребляемые нами названия, после же десятков тысяч, как мы полагаем, достаточно считать мириадами вплоть до мириады мириад. Упомянутые до сих пор числа вплоть до мириады мириад назовем первыми, а мириаду мириад первых чисел назовем единицей вторых чисел, далее будем считать единицы вторых чисел и из таких единиц составим десятки, сотни, тысячи и мириады вплоть до мириады мириад. Затем мириаду мириад вторых чисел назовем единицей третьих чисел; после этого будем считать единицы третьих чисел, а за единицами десятки, сотни, тысячи и мириады вплоть до мириады мириад. Таким же образом, мириаду мириад третьих чисел назовем единицей четвертых чисел, а мириаду мириад четвертых чисел назовем единицей пятых чисел. Продолжая так постоянно, мы дадим названия числам вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел.

Вполне достаточно знать числа только до этих пор, но можно идти и далее. Действительно, пусть упомянутые до сих пор числа называются числами первого периода, а последнее число первого периода назовем единицей первых чисел второго периода. Далее мириаду мириад первых чисел второго периода назовем единицей вторых чисел второго периода. Точно так же последнюю единицу этих чисел назовем единицей третьих чисел второго периода; если постоянно продолжать таким образом, то числа второго периода получат имена вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел. Далее, последнее число второго периода назовем единицей первых чисел третьего периода и будем так продолжать вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел мириадо-мириадного периода. [...]

Теперь доказано, что количество песка в (объеме), равном по величине тому, что большинство астрономов называют миром, меньше чем 1000 единиц седьмых чисел. [...]

[...] Ясно, что количество песчинок в (объеме), равном по величине сфере неподвижных звезд, как ее мыслит Аристарх, будет меньше, чем тысяча мириад (единиц) восьмых чисел.

Архимед Досифею

Узнав о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге, и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем доказаны также и геометрически.

Утверждение 21

Если в сегмент, заключенный между прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом то же самое основание и ту же высоту, а в оставшиеся сегменты вписать другие треугольники, имеющие те же самые основания и высоты, что и у этих сегментов, то треугольник, вписанный в весь сегмент, будет в восемь раз больше каждого из треугольников, вписанных в сегменты, оставшиеся [по краям].

Утверждение 23

Если взять несколько величин, образующих непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, то все эти величины вместе, сложенные с третьей частью наименьшей, составят четыре трети наибольшей.

Утверждение 24

Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту.

Книга I

Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим.