Есть идея!

Вот простой карточный фокус, который позволит вам удивить и позабавить ваших друзей. Хотя внешне он ничем не напоминает задачу об отыскании флаконов с непригодными пилюлями, и задача, и фокус по существу «двоичны» — в основе их лежит двоичная система счисления.

Пусть кто-нибудь из зрителей тщательно перетасует колоду карт. Положив ее в карман, попросите вашего помощника назвать любое число от 1 до 15, после чего, сунув руку в карман, достаньте карты, значения которых в сумме равны названному числу (туз считается равным 1).

Секрет фокуса прост. Вы заранее кладете в карман туз, двойку, четверку и восьмерку. Определить на глаз недостачу четырех карт в колоде невозможно, и ваши зрители будут пребывать в уверенности, что вы попросили перетасовать полную колоду. Перетасованную колоду вы подкладываете под четыре карты, уже лежащие в кармане. После того как число названо, вы мысленно представляете его в виде суммы степеней числа 2 (например, если названо число 10, то вы мысленно разлагаете его в сумму 8 + 2=10) и, сунув руку в карман, достаете двойку и восьмерку.

На том же двоичном принципе построены и карточки «для чтения мыслей на расстоянии». На рис. 1 из гл. 3 показаны 6 карт, позволяющие безошибочно отгадывать любое задуманное число от 1 до 63. Попросите кого-нибудь, задумав любое число в этом диапазоне (например, свой возраст), отобрать и вручить вам все карточки, на которых оно встречается, и вы немедленно назовете задуманное число. Секрет этого фокуса также прост: вы просто суммируете степени числа 2, стоящие в левом верхнем углу каждой таблицы. Например, если были отобраны и вручены вам таблицы C и F, то вы суммируете числа 4 и 32 и узнаете, что было задумано число 36.

По какому принципу выбраны числа на каждой карточке? Каждое число, имеющее в двоичной записи единицу в первом разряде справа, заносится в таблицу A. Следовательно, в эту таблицу вписаны все нечетные числа от 1 до 63. В карточку B заносятся все числа, имеющие в двоичной записи единицу во втором разряде справа, в карточку C — все числа, имеющие единицу в третьем разряде справа и т. д. Заметим, что число 63 в двоичной системе записывается как 111111, то есть имеет единицы во всех шести разрядах, и поэтому встречается на всех шести карточках.

Иногда фокусники придают этому фокусу налет таинственности, окрашивая карточки в различные цвета и запоминая, какой цвет соответствует той или иной степени числа 2. Пусть, например, красная карточка означает 1, оранжевая — 2, желтая — 4, зеленая — 8, голубая — 16 и фиолетовая — 32 (мы выбрали 6 цветов радуги по порядку, пропустив синий). Фокусник становится в дальнем конце комнаты и просит кого-нибудь из зрителей отложить в сторону карточки, на которых встречается задуманное число. По цвету отложенных карточек фокусник без промедления может назвать задуманное число.

Распиленный браслет

Однажды юная Глория из Арканзаса отправилась в Калифорнию. Ей необходимо было снять на неделю номер в гостинице.

Портье в гостинице встретил ее весьма нелюбезно.

Портье. Могу предложить только номер за 20 долларов в сутки. Плата наличными.

Глория. Простите, сэр, у меня нет при себе денег. Есть только этот золотой браслет. Каждое из его 7 звеньев стоит дороже 20 долларов.

Портье. Так и быть, давайте сюда ваш браслет.

Глория. Не торопитесь. Я попрошу какого-нибудь ювелира распилить браслет и буду отдавать вам по 1 звену в день, а к концу недели, когда мне пришлют из дому деньги, отдам браслет в починку.

После долгих споров портье согласился. Но перед Глорией встала задача: как распилить браслет?

Глория. Торопиться не следует. Ведь ювелир потребует с меня плату за каждое распиленное и вновь запаянное звено браслета.

Поразмыслив, Глория поняла, что ей вовсе не нужно распиливать все звенья, поскольку отдельные части браслета можно комбинировать так, чтобы число оставшихся у портье звеньев каждый раз соответствовало плате за номер. Сколько звеньев вы бы приказали распилить на месте Глории?

Достаточно распилить лишь одно-единственное звено: третье с любого конца цепи. Браслет распадется на 3 части длиной в 1 звено, 2 звена и 4 звена. Отдавая их в необходимой комбинации портье и получая предыдущие, Глория сможет оставлять у портье каждый день на 1 звено больше, чем накануне.

Чтобы решить эту задачу, необходимо принять во внимание два соображения. Во-первых, понять, что наименьший набор отрезков золотой цепочки, позволяющий оставить у портье любое число звеньев от 1 до 7, состоит из 3 отрезков длиной в 1, 2 и 4 звена. Как мы уже знаем из решения предыдущей задачи, эти числа — не что иное, как последовательные степени числа 2, положенные в основу двоичной системы счисления.

Во-вторых, необходимо понять, что разделить браслет на части длиной в 1, 2 и 4 звена можно распилив одно-единственное звено.

Задача допускает обобщение на случай, когда браслет или цепочка состоят более чем из 7 звеньев. Например, пусть у Глории имеется с собой золотая цепочка из 67 звеньев, которую необходимо распилить с той же целью, что и злосчастный браслет, — для уплаты за проживание в гостиничном номере от 1 до 67 суток по 1 звену за сутки. Оказывается, что в этом случае достаточно распилить лишь 3 звена. Вы знаете, какие именно? Может быть, вы можете предложить общий метод решения задачи, позволяющий распиливать минимальное число звеньев цепи произвольной длины?

Интересный вариант этой задачи возникает в том случае, если первоначально концы n-звенной цепочки соединены так, что цепочка превратилась в замкнутую петлю. Например, предположим, что у Глории есть золотая цепочка из 79 звеньев. Сколько звеньев необходимо распилить, чтобы Глория могла оплатить от 1 до 79 суток пребывания в гостинице из расчета по 1 звену за сутки?

Глава 2

Геометрические находки

Неожиданные решения задач о геометрических телах и фигурах

Геометрия занимается изучением свойств тел и фигур, хотя такое определение настолько широко, что почти лишено смысла. Так, оно позволяет считать геометром члена жюри любого конкурса красоты, поскольку тот судит о «свойствах тел и фигур», хотя под телами и фигурами он понимает нечто иное, чем геометр. Когда о какой-нибудь линии кто-либо замечает, что она необычайно изящна или выразительна, то, хоть речь идет о кривой, то есть объекте, действительно изучаемом в геометрии, само высказывание относится скорее к области эстетики, чем к математике.

Попробуем уточнить, что такое геометрия, и определим ее с помощью такого понятия, как симметрия. Под симметрией принято понимать такое преобразование фигуры, которое оставляет фигуру неизменной. Например, буква H симметрична относительно поворота на 180°. Это означает, что если букву H повернуть на 180° (поставить «вверх ногами»), то она перейдет в фигуру, неотличимую от буквы H в исходном положении (разумеется, при условии, если перекладина в букве H находится строго посредине). Слово «AHA», стоящее на обложке этой книги, обладает зеркальной, или двусторонней симметрией: если приставить к нему справа или слева зеркало, то зеркальное отражение слова будет неотличимо от оригинала.

Любой раздел геометрии можно определить как науку о свойствах фигур, не изменяющихся при определенных преобразованиях симметрии. Например, евклидова геометрия на плоскости занимается изучением свойств, остающихся неизменными (инвариантных) при движении фигуры по плоскости, поворотах, зеркальных отражениях и равномерных сжатиях и растяжениях. Аффинная геометрия занимается изучением свойств, инвариантных относительно «перекашивания» фигуры. Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно проецирования. Топология имеет дело со свойствами, которые сохраняются неизменными, когда фигура претерпевает сколь угодно сильные искажения без разрывов и склеиваний, аналогичные деформациям фигуры, изготовленной из гибкого, растяжимого и прочного материала.