Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Чтобы получить такое изображение, стекло помещается в рамку, которую держит художник справа. Лучи света (прямые линии) от изображаемого объекта, попадая в глаз художника, проходят через стекло и образуют на нем так называемую проекцию. Таким образом, для художника ключевыми понятиями являются перспектива и проекция.

Эта гравюра включена в трактат «Об измерениях» (1525) и известна под названием «Рисующий лютню». На ней Дюрер показывает, как получить изображение в перспективе с помощью проекции.

Обратите внимание, что в проективной геометрии параллельные линии сходятся в точке, называемой точкой схода, или точкой бесконечности. Понятие параллельных линий превращается в понятие прямых, которые пересекаются в точке, расположенной на бесконечном расстоянии. Однако эта бесконечно удаленная точка все еще находится в поле зрения наблюдателя.

Хорошим примером точки схода на плоскости является точка, где сходятся железнодорожные рельсы. Другим примером являются чертежи архитектора с плоскостными проекциями для изображения более реалистичного варианта дизайна.

Точка схода в реальности при взгляде на рельсы (сверху). Точка схода на художественной проекции. Иллюстрация из опубликованного в 1565 г. «Трактата о перспективе» фламандского художника Вредемана де Вриса (снизу).

Методы проективной геометрии приводят к искажению изображений: длины отрезков, величины углов и размеры фигур евклидовой геометрии не обязательно сохраняются. В сущности, проективная геометрия является геометрией художников. Поэтому параллельные линии изображались художниками эпохи Возрождения совсем не так, как у Евклида. Изменилось само понятие параллельности.

Вплоть до конца XVIII в. роль математики заключалась в обосновании физической реальности мира, в котором мы живем. В следующем же веке эта роль изменилась с появлением неевклидовых геометрий. Время «Начал» Евклида, являвшихся непререкаемой истиной на протяжении 23 веков, подошло к концу, и вместе с этим пошатнулось само понятие реальности в том абстрактном смысле, который в него вкладывали до сих пор.

Иммануил Кант утверждал, что пространство является системой отсчета, существующей в человеческом сознании, и, следовательно, аксиомы и постулаты геометрии Евклида являются предопределенным знанием, понятиями, априори запечатленными в уме человека. Без этих аксиом и постулатов невозможно даже рассуждать о пространстве. Тем не менее он был первым, кто допускал возможность существования другого типа геометрии. В своей первой работе, опубликованной в 1746 г., Кант рассматривает пространство с более чем тремя измерениями и говорит:

Геометриями, которые предсказал Кант, являются известные в наше время многомерные неевклидовы геометрии.

В формальном смысле евклидова геометрия определена в первых шести книгах «Начал», а неевклидовы геометрии получаются путем отказа от пятого постулата.

В формулировке Плейфера этот отказ означает две возможности: либо отрицать уникальность параллельной прямой, либо отрицать ее существование. Это может быть выражено следующими альтернативными утверждениями.

1. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, проходит более одной прямой, параллельной данной.

2. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одна прямая, параллельная данной.

* * *

* * *

Чтобы в полной мере понять эти формулировки, нам в первую очередь необходимо выйти за рамки нашего восприятия того, чем являются параллельные линии. Новая геометрия может быть построена таким способом: мы сохраним все постулаты Евклида, но только заменим пятый постулат его альтернативой. Такая геометрия позволяет получать логичные результаты и не имеет внутренних противоречий. Первая такая геометрия, так называемая гиперболическая геометрия, была предложена Николаем Лобачевским (1792–1856) и Яношем Бойяи (1802–1860). Другую геометрию, так называемую эллиптическую геометрию, сформулировал Бернхард Риман (1826–1866).

Развитие неевклидовых геометрий проходило в два этапа: сначала были попытки доказать пятый постулат Евклида, а потом появились новые геометрии с альтернативным пятым постулатом, которые сосуществовали с евклидовой геометрией.

Такой подход предполагает существенные изменения в нашем восприятии реальности. Например, пятый постулат Евклида можно рассматривать в формулировке о сумме углов треугольника и сформулировать альтернативные постулаты. Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180° — но только в мире Евклида, где параллельные линии можно продолжать до бесконечности и пространство не искривлено. А если бы Евклид побывал в бесконечности и увидел, что там произошло с параллельными линиями? А вдруг они бы пересеклись? Это бы значило, что пространство искривлено, а сумма углов треугольника больше 180°, как если бы треугольник был нарисован на поверхности апельсина. Аналогично в гиперболической геометрии, где параллельные линии неумолимо расходятся, сумма углов треугольника меньше 180°.

Евклидова геометрия содержит основные понятия любой геометрии, такие как точки, прямые и плоскости, но эти понятия в других геометриях необходимо пересмотреть. В новой геометрии прямой линией будет называться любая линия, которая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, а плоскостью будет такая поверхность, которая обладает следующим свойством: если две точки на прямой принадлежат этой поверхности, то все другие точки на этой прямой также будут принадлежать этой поверхности.

Эти идеи действительны во всех геометриях и характеризуют новый подход к восприятию форм. Неевклидовы прямые линии могут оказаться искривленными, а в так называемой сферической геометрии сфера считается плоскостью и большие окружности на ее поверхности являются прямыми линиями. Обе геометрии имеют общую терминологию, потому что и там, и там прямая линия является самой простой линией, а плоскость — самой простой поверхностью.