Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии читать книгу онлайн
Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних чтение данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту [email protected] для удаления материала
Представьте, что вы находитесь в районе Эшампле и хотите попасть из точки А в точку В. Если каждый городской квартал считать за единицу пути, то каким будет в этих единицах расстояние между точками А и В?
Глядя на этот рисунок, можно представить треугольник с гипотенузой (прямая линия между точками А и В) и двумя другими сторонами (вдоль улиц от одной точки к другой). Тогда длина одной стороны составит 4 единицы, а другой — 2.
Применяя теорему Пифагора (а2 = Ь2 + с2), мы можем найти длину гипотенузы: √(42 + 22) = √20 = 4,47 единиц. Если нам нужно рассчитать время в пути, то очевидно, что это расстояние обманчиво, потому что мы не можем передвигаться из одной точки в другую по прямой линии. Реальное расстояние будет суммой двух других сторон треугольника, то есть 6 единиц.
Мы могли бы попробовать различные другие маршруты, чтобы найти наименьшее расстояние. Вариантов множество. Мы можем двигаться по вертикали и по горизонтали, поворачивая на первую улицу, а затем на вторую, или сделать поворот через две улицы и так далее. Однако общее расстояние всегда будет 6 единиц.
На следующем рисунке изображены различные маршруты между точками А и В. Всего имеется 15 возможностей.
Выходит, что фактический маршрут вовсе не является прямой линией. Здесь появляется другое понятие расстояния, которое называется расстоянием такси. Это понятие нелинейного расстояния лежит в основе геометрии такси.
* * *
ВОЗМОЖНЫЕ МАРШРУТЫ
Формула, выражающая количество всех возможных маршрутов для n вертикальных и m горизонтальных движений, выглядит следующим образом:
Здесь n! означает факториал числа n, который равен n ·(n-1)·(n-2)·…·2·1. Например, 5! = 5–4 — 3–2 — 1 = 120. В нашем примере формула записывается так:
возможных маршрутов.
* * *
Расстояние, которое изучается в школе, является евклидовым расстоянием. Оно находится по теореме Пифагора, поэтому расстояние между двумя точками Р и Q с координатами Р = (x1, y1) и Q = (x2, у2) выражается следующей формулой:
В отличие от евклидова расстояния, минимальное расстояние в городе с прямоугольной сеткой улиц считается как dT(P, Q) = |x2 — x1| + |y2 — y1|
* * *
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Выражение |А| означает «абсолютное значение числа А», которое получается путем игнорирования знака числа. Если число А положительно, то |А| = А, а если число А отрицательно, то |А| = — А, например, |-5| = 5.
* * *
Это альтернативное расстояние называется манхэттенским расстоянием, или расстоянием Минковского, в честь немецкого математика Германа Минковского.
На более популярном языке это расстояние называют также расстоянием такси. На рисунке ниже пунктирная линия отмечает евклидово расстояние, а сумма длин вертикальных и горизонтальных отрезков соответствует расстоянию такси.
Если точка С является началом координат, то точка А имеет координаты (2, 1), а точка В — координаты (0, 5). Таким образом, евклидово расстояние составляет 4,47 единиц, а расстояние такси — 6 единиц. Обратите внимание, что положение начала координат не влияет на результат при расчете расстояний.
В математике метрикой или расстоянием между двумя точками А и В называется такое соотношение, которое удовлетворяет условиям положительности, симметрии и неравенства треугольника. А именно,
1) δ(A, В) >= 0, и из δ(A, В) = 0 следует, что А = В;
2) δ(A, В) = δ(В, A);
3) δ(А, В) =< δ(А, С) + δ(С, В).
Евклидово расстояние d(A, В) и расстояние такси dt(A, В) — два примера расстояний, которые удовлетворяют указанным выше условиям. В общем случае d(A, В) =< dT(A, В).
* * *
ГЕРМАН МИНКОВСКИЙ (1864–1909)
Немецкий математик Герман Минковский разработал геометрическую теорию чисел — геометрический метод решения задач из теории чисел. В 1907 г. он понял, что специальная теория относительности Эйнштейна может быть лучше выражена в терминах неевклидовой геометрии четырехмерного пространства. Это пространство с тех пор называется пространством Минковского. В нем время и пространство являются взаимосвязанными измерениями и образуют четырехмерное пространство, так называемое пространство-время. Именно таким подходом позже воспользовался Эйнштейн при работе над общей теорией относительности.
* * *
В евклидовой геометрии имеется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, который работает следующим образом.
Пусть у нас имеются два треугольника АВС и А1В1С1 со сторонами соответственно АВ, АС, ВС и А1В1, A1C1, B1C1. Тогда, если АВ = A1B1, АС = А1С1 и угол ВАС равен углу В1A1С1, то сторона ВС равна стороне B1C1, то есть треугольники равны.
Другими словами, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то третьи стороны в треугольниках также будут равны. Такие треугольники равны. Однако этот очевидный результат оказывается ложным в геометрии такси.
Рассмотрим треугольники с вершинами А = (3,1), В = (1, 3), С = (5, 3) и А1 = (4, 4), В1 = (8, 4), С1 = (4, 0), как изображено на рисунке:
Можно показать, что
dT(A, B) = 4 = dT(A1, B1),
а также
dT(A, C) = 4 = dT(A1, C1),
Таким образом, по формуле расстояния такси b = b1 и с = с1. Обратите внимание, что угол ВАС также равен углу В1А1С1 (в данном примере они равны 90°). Несмотря на выполнение условий признака равенства, стороны а и а; наших треугольников имеют разную длину. Это совершенно разные треугольники, так что для них признак равенства треугольников из евклидовой геометрии не работает.
