Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Следовательно, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4:

Рассмотрим спираль Архимеда — кривую, получаемую равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Будем считать, что точка движется вдоль луча со скоростью 1м/с, скорость вращения луча постоянна. Чтобы найти площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда, нужно вычислить интеграл

Достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 2π

Именно этот результат получил сам Архимед, который изложил его иначе: «Площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка». В самом деле, так как на первом витке спирали точка проходит вдоль прямой путь, равный 2π, круг этого радиуса будет иметь площадь p ∙ (2π)² = 4π³, о чем пишет Архимед.

Автор этой книги не ставил перед собой задачу подробно рассказать о понятиях и методах анализа бесконечно малых. Намного интереснее то, каким образом математики открыли эти понятия и как они изменялись со временем. В следующих главах мы расскажем об интеллектуальной эпопее длиной почти в две тысячи лет. Читатель узнает, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Коши и другие великие математики создавали и последовательно видоизменяли понятия дифференциала, производной, интеграла и предела, пока они не приобрели тот вид, в котором известны нам сегодня.

Глава 2.

От Архимеда до XVII века: истоки

В течение всего процесса формирования анализа бесконечно малых, длившегося почти две тысячи лет, со времен Архимеда до эпохи Ньютона и Лейбница, было создано множество различных математических теорий и концепций. Было вновь открыто и осмыслено наследие древних греков, в особенности работы Архимеда; появилась более сложная система счисления, чем древнегреческая и римская; и, разумеется, возникла алгебра и аналитическая геометрия, позволившая использовать методы алгебры при работе с кривыми. Стало возможным решать задачи о касательных, вычислении площади, центров тяжести, максимумов и минимумов и подобные им алгебраическим путем. Алгебра и аналитическая геометрия, по сути, стали тем языком, на котором можно было описать ранние этапы развития математического анализа. Это случилось благодаря усилиям плеяды ученых, которые совершили множество важных открытий, особенно в XVII веке.

Этот процесс был очень сложным, интенсивным и интересным не только с научной, но и в большей степени с исторической точки зрения. На него влияли крупнейшие события в истории человечества, которые, в частности, привели к утрате классической греческой культуры и последующему возврату к ней, к научно -технической революции. Сказались на формировании этого раздела математики и проблемы обособленности, вызванные сложной политической ситуацией и многочисленными войнами в Европе в XVII веке. Не обошлось и без влияния интриг одних ученых против других, непримиримых споров, диспутов и оскорблений.

Бесконечность в Древней Греции

Мы начнем наш рассказ с экскурса в Древнюю Грецию. Именно тогда математики и философы предприняли первые попытки понять бесконечность — метафизическую основу математического анализа.

Для древних греков бесконечность была двухголовым монстром: с одной стороны — бесконечно малое, с другой — бесконечно большое. Бесконечность вскоре оказалась вовлечена в скандалы и споры. В некотором роде она проявилась в невозможности измерить одной мерой сторону квадрата и его диагональ, что разрушило пифагорейскую концепцию вселенной и привело к первому фундаментальному кризису в математике. Она также присутствовала в апориях Зенона о движении и множестве, в которых, помимо прочего, проявлялось диалектическое противоречие между различными философскими течениями той эпохи. Апории Зенона также показывают влияние этих противоречий на математику.

Эти события привели к тому, что использование бесконечности было запрещено, точнее ограничено. Поскольку отрицать бесконечные процессы было невозможно («И в малом ведь нет наименьшего, но везде есть меньшее, — писал Анаксагор, — но и в отношении к большему всегда есть большее»), Аристотель попытался запретить использование актуальной бесконечности: «Бесконечное не может существовать как сущность или как свойство», — пишет он в книге 3 «Физики». Однако далее сам же признает: «Много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, — это тоже очевидно», «О бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием», иными словами, «величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой». Например, по Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз.

О роли бесконечности в математике Аристотель писал: «Наше рассуждение… не отнимает у математиков их исследования, ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им; надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им [математикам] желательно».

Хотя с точки зрения математики важнее другое его высказывание: «Всякую конечную величину [всегда] можно исчерпать любой определенной величиной». Это так называемая аксиома Архимеда о непрерывности. В действительности эту аксиому впервые сформулировал и использовал Евдокс, ученик Платона. Этот принцип позволил Евдоксу преодолеть кризис, возникший после того, как были открыты несоизмеримые величины. Аксиома Архимеда позднее упоминается в «Началах» Евклида в виде определения: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». На основе этой аксиомы Евдокс построил так называемый метод исчерпывания — строгий метод расчета площадей и объемов, который использовался, помимо прочего, для доказательства того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Это отношение мы называем числом π. Метод исчерпывания и, в частности, это утверждение позднее использовал Евклид в «Началах».

Архимед

Однако настоящим мастером метода исчерпывания, вне всяких сомнений, был Архимед. В нескольких трудах он изложил свою аксиому о непрерывности: «Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади», — писал он в «Квадратуре параболы». Однако он признавал, что не был первооткрывателем этого метода: «Этой леммой пользовались и жившие ранее геометры», — писал он, имея в виду Евдокса.

Архимед применял метод исчерпывания для решения многих задач. Мы уделим внимание одной из них, посвященной расчету площади спирали. Ученый рассматривал спираль, определение которой мы приводили в главе 1: эта спираль получается равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Архимед показал, что площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка. Чтобы доказать это, он построил фигуру несколько меньшей площади, состоявшую из п круговых секторов, полученных делением окружности на п равных частей, и другую фигуру большей площади, также состоявшую из n круговых секторов, в которую была вписана спираль, как показано на рисунке: