Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

и N = 2 ∙ 10^1000000. Однако этого недостаточно: это значение w очень мало, но не является бесконечно малым, равно как и N не является бесконечно большим.

Тем не менее читатель легко представит разницу между очень малым и очень большим и между бесконечно малым и бесконечно большим. С учетом свойств показательной функции можно записать: e^z = e^wN — (e^w)^N. Так как w является бесконечно малым, то, учитывая равенства, изложенные в нашей дискуссии о касательных, получим: е^z = (1 + w)^N. Так как w = z/N, это означает:

где N — бесконечно большое число. Запишем это равенство в следующем виде:

Применим теорему о биноме:

Так как N — бесконечно большое, получим, что N — 1 = N, N — 2 = N и так далее, что позволяет преобразовать равенство:

Заметим, что в методе Эйлера для разложения показательной функции в ряд бесконечно большие и бесконечно малые числа появляются и исчезают, подобно предметам в руках у фокусника. Тем не менее они используются не напрасно: они помогают преобразовать функцию и выявить ее важные скрытые свойства.

Этот метод Эйлера по разложению в ряд кажется недостаточно строгим, но здесь не идет речь о логической строгости рассуждений Эйлера. К тому же следует отметить, что на самом деле они всего лишь подразумевают использование более сложной логики, чем та, что лежит в основе стандартного анализа.

В некотором смысле эти выкладки Эйлера демонстрируют его гениальность. Как мы уже говорили в главе 6, Хобсон так отзывался о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот».

Библиография

AlTON, E.J., Leibniz. Una biografia, Madrid, Alianza Editorial, 1992.

BARON, M.E., The Origins of the Infinitesimal Calculus, Oxford, Pergamon, 1969.

DURAN, A.J., Historia, con personajes, de los conceptos del cdlculo, Madrid, Alianza

Editorial, 1996.

DURAN, A.J., (coordinador), El legado de las matemdticas, Sevilla, Real Sociedad

Matematica Espanola у otros, 2000.

DURAN, A.J., La polemica sobre la invencion del cdlculo infinitesimal, Barcelona, Critica, 2006.

DURAN, A.J., Pasiones, piojos, dioses… у matemdticas, Barcelona, Destino, 2009.

DURAN, A.J., Cauchy, hijo rebelde de la revolution, Madrid, Nivola, 2009.

EULER, L., Introductio in analysin infinitorum, edicion facsimilar у critica con traduction al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2000.

EDWARDS, C.H,, The Historical Development of the Calculus, Nueva ^fork, Springer-Verlag, 1979.

HALL, A.R., Philosophers at War, Cambridge, Cambridge University Press, 1980.

HOFMANN, J.E., Leibniz in Paris, 1672-1676. His Growth to Mathematical Maturity, Cambridge, Cambridge University Press, 1974.

MANUEL, F.E., A Portrait of Isaac Newton, Harvard University Press, Cambridge

(Mass.), 1968.

NEWTON, L, The Mathematical Papers of Isaac Newton, edicion de D.T. Whiteside,

Cambridge, Cambridge University Press, 1967-1981.

NEWTON, I., Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias, edicion facsimilar у critica con traduccion al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2003.

WESTFALL, R.S., Never at Rest; a Biography of Isaac Newton, Cambridge, Cambridge University Press, 1983.