Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Аэропорты всего мира за несколько лет превратились в настоящие торговые центры. В них можно найти буквально все: киоски, аптеки, бары, рестораны, магазины часов, одежды, подарков и электроники. Пассажирам, ожидающим вылета, доступны самые разные товары.

Но магазинами дело не ограничивается: в некоторых аэропортах, в частности в сингапурском аэропорте Чанги, пассажиры могут посетить бесплатные выставки.

В одном из вестибюлей аэропорта были установлены панели экспозиции под названием «Go Geometric» («Действуйте геометрически»). В выставке подчеркивалась связь культуры и геометрии. Кроме того, посетителям предлагалось самим создать или воссоздать геометрические узоры, которые можно встретить в образцах архитектуры и декоративно-прикладного искусства народов Азии.

Выставка «Go Geometric» в сингапурском аэропорту Чанги.

На одном из стендов можно было напечатать на бумаге марку с особым узором — бесконечным узлом, одним из символов Будды. Этот узел так назван, потому что представляет собой линию, которую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги. Обычно он используется в украшении самых разных предметов — так, его упрощенная версия украшает тарелку, изображенную на иллюстрации.

Стенд выставки в аэропорту Чанги и описи бесконечного узла на бумаге.

Почему этот узел называется бесконечным? Очевидно, потому, что он представляет собой циклическую линию. Если мы пройдем вдоль нее, начиная из любого места, то в конце концов вернемся в начальную точку. Эта линия непрерывная и замкнутая. Форма узла определяется сеткой, на которой он изображен, и расположением самой линии узла относительно сетки.

Две фигуры называются топологически эквивалентными, если одну из них можно получить из другой путем непрерывной деформации (без разрезов), и число отверстий в фигуре при этом не меняется. Так, топологически эквивалентны кольцо и рама картины. Аналогично, топологически эквивалентными являются бесконечный узел, изображенный выше, и следующая фигура. Кроме того, обе эти фигуры обладают осевой симметрией второго порядка (относительно поворота на 180°).

* * *

Цилиндр и кольцо топологически эквивалентны.

* * *

Цикл, обладающий осевой симметрией второго порядка, проходит через три вершины сетки на каждой стороне квадрата. Это же верно и в случае, когда на каждой стороне находится всего одна вершина.

Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное, имеем другую разновидность цикла, с осевой симметрией четвертого порядка (относительно поворота на 90°).

За исключением случая, когда на каждой стороне располагается всего одна вершина, различные циклы такого типа (обладающие осевой симметрией четвертого порядка) можно определить для любого числа вершин на стороне квадрата, как четного, так и нечетного. Для сетки размером 4 x 4 это будут две вершины, для сетки размером 7 x 7 — три.

Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное (сетка состоит из нечетного числа клеток), то не существует цикла, проходящего через все вершины и подобного исходному узлу.

Чтобы получить бесконечный узел, проходящий через все вершины сетки, нужно, чтобы число вершин на каждой стороне квадрата было нечетным, или, что аналогично, число клеток сетки — четным.

Теорема 1: Если сетка состоит из четного числа клеток, полученный узел будет бесконечным, подобно исходному, и будет обладать осевой симметрией второго порядка (относительно поворота на 180°).

Теорема 2: Для любого числа клеток сетки n²  при n = 2·k или n = 2·k + 1 определимы k циклов с осевой симметрией четвертого порядка.

Ранее мы показали, что в сетке из 49 клеток (n = 7 = 2·3 + 1) можно определить три цикла, обладающих осевой симметрией четвертого порядка. В сетке из 16 клеток (16 = (2·2)²) можно определить два таких цикла.

Геометрические узоры встречаются повсеместно и практически у всех народов. Первые геометрические петроглифы появились еще в древнейшие времена — их примеры найдены в пещере Бломбос (ЮАР) или в Раскрашенной пещере на Канарских островах (Испания). Узоры, созданные еще до нашей эры в Древнем Египте, Древней Греции и Византии, имеют более формальный характер. Уже в нашу эру римляне использовали геометрические узоры в мозаиках (расцвет этого вида искусства наблюдался в Венеции до начала эпохи Возрождения). В то же время был создан чисто геометрический римско-византийский узор, обладающий самоподобием (в этом он схож с фракталами).

Римско-византийский узор (ок. 700 года).

Основу этого узора составлял квадрат, разделенный на 16 клеток. Диагонали делят каждую клетку на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них окрашивался в серый цвет, другой делился на четыре подобных ему треугольника. Один из этих маленьких треугольников окрашивался в светло-серый цвет, три оставшихся вновь делились на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Далее каждый из этих трех треугольников окружался еще тремя, таким образом получалось 3·3·16 = 9·16 = 144 новых треугольника. Эти действия могли повторяться бесконечно. На каждом этапе число треугольников утраивалось.

Этот узор обладает зеркальной симметрией вида cm, определяемой параллельными осями симметрии вдоль восходящих диагоналей каждой клетки.