Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

1. Мерка.

2. Полоски листьев кокосовой пальмы с четырьмя отметками.

3. Листья сгибаются.

4. Полоска бананового листа длиной в одну единицу.

5. Несколько полосок банановых листьев складываются и образуют дно посуды.

6. Дно укладывается в посуду. Посуда готова.

Женщины знают, что посуда имеет квадратную форму: во-первых, это очевидно, во-вторых, посуда сложена из четырех равных частей, что, однако, обеспечивает равенство всех четырех сторон, но не равенство углов. Если быть точным, то посуда имеет форму ромба, а квадрат получается только после вставки банановых листьев.

Так как полоски банановых листьев по длине равны стороне квадрата, высота ромба становится равной его стороне, и он принимает форму квадрата. Из бесконечного множества всех возможных ромбов (четырехугольников с равными сторонами) только один является квадратом и, более того, имеет наибольшую площадь.

Описанный выше метод сам по себе не гарантирует правильность решения. Однако женщина, складывая посуду, применяет на практике следующую теорему: ромб, высота которого равна его стороне, — квадрат.

Доказать эту теорему несложно. Высота определяет прямоугольный треугольник, в котором угол, противолежащий высоте, будет углом ромба. Так как катет этого прямоугольного треугольника (высота ромба) равен его гипотенузе (стороне ромба), длина второго катета равна нулю. Высота и сторона ромба параллельны.

Следовательно, две стороны, сходящиеся в вершине, перпендикулярны — это отличительное свойство квадрата.

Из таких же полосок меньших размеров, подготовленных должным образом, изготавливается множество узоров, которые прилагаются к подношениям. Они также образованы из геометрических фигур, а некоторые из них напоминают цветы и складываются посредством сгибов и поворотов полосок на одинаковые углы.

На рисунках ниже показан процесс изготовления посуды из прямоугольника, вырезанного из бананового листа. Длина этого прямоугольника должна быть примерно в два раза больше его ширины. На нем отмечаются центр и серединный перпендикуляр, после чего прямоугольник складывается так, что его нижние углы накладываются друг на друга. В результате верхняя сторона приобретает форму кривой и образуется «карман», куда и складываются подношения.

Серединный перпендикуляр, отмеченный на прямоугольном банановом листе формата 2:1.

Первый сгиб вдоль диагонали прямоугольника.

После второго сгиба вдоль диагонали получается конверт, куда вкладываются подношения.

Иными словами, нужно согнуть прямоугольник вдоль нижних частей двух диагоналей, как показано на рисунке ниже. Так как в полученном прямоугольном треугольнике один катет в два раза длиннее другого, тангенс угла сгиба будет в два раза больше соотношения между катетами.

Однако описанный способ далеко не единственный, и в зависимости от местных обычаев или способностей мастера посуда может принимать самую разную форму. Кроме того, подобным образом складывается не только посуда, но и декоративные украшения, например спираль из тонких волокон листьев. Четыре сплетенных волокна, которые образуют спираль, изображенную на фотографии, имеют ширину 3 мм.

Ее витки направлены вокруг оси. Спираль опирается на ось только в начальной и конечной точке. Углы при вершинах спирали почти прямые и образуются скручиванием волокна на пол-оборота до сгиба. Волокна листьев переплетены, как показано на следующей схеме. Угол а определяет угол между двумя последовательными вершинами (он равен 180° — α) и число секторов на каждом обороте спирали.

Будем повторять аналогичные действия, и поверхность примет следующий вид.

Плетеная спираль, вид сверху.

В Японии верующие вешают у входов в синтоистские святилища и алтари деревянные таблички, на которых записывают свои пожелания и просьбы. Студенты просят об успешной сдаче экзамена, семьи и супружеские пары — о счастливом браке, а коммерсанты — об удаче в делах.

В XVII–XVIII веках в Японии можно было видеть удивительный математический феномен: на алтарях вешались сайгаку — большие деревянные таблички с математическими задачами, как правило по геометрии. Одни из них были простыми, другие, напротив, очень сложными. Эти задачи придумывали и решали монахи, самураи и представители других социальных групп. Древнейшая сайгаку датирована 1691 годом и хранится на алтаре Гион в городе Киото. Последняя сайгаку была найдена в 2005 году в алтаре Убара в городе Тояма и датируется 1879 годом.

Хотя задачи сайгаку решаются по большей части евклидовыми методами, сами эти таблички как разновидность неакадемической математической деятельности, связанная с культурной традицией, подтверждают важность культурного контекста, в котором сплавляются воедино математика и творчество. При этом сама творческая деятельность, то есть формулировка задач и поиск решений, носит ярко выраженный этноматематический характер.

Таблички у входа в храм Хида Кокубундзи в Такаяме.

Чаще всего в сайгаку речь идет о вписанных геометрических фигурах. К примеру, требуется определить отношение радиусов трех окружностей, касающихся друг друга и вписанных в еще одну, большую окружность; определить размеры квадратов, вписанных в равносторонний треугольник; вписать ряд окружностей в эллипс или ряд сфер в большую сферу.

В 1781 году Фудзита Садасуке написал книгу «Математика в деталях» и помог своему сыну Каджену подготовить первую книгу, посвященную сайгаку. Она получила название «Священная математика» и была опубликована в 1789 году. В книге Фудзиты Садасуке приведен простой вариант задачи, где нужно найти расстояние между двумя точками, в которых окружности, касающиеся друг друга, касаются прямой.