Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

АПОРИЯ «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА»

Ахиллес, более быстрый, чем черепаха, никогда ее не догонит, если она в момент движения находится на некотором расстоянии впереди. Ахиллес начинает движение из точки А, чтобы догнать черепаху, находящуюся в точке 5 (см. рисунок). Как бы быстро ни бежал Ахиллес — если только его скорость не бесконечна, что недопустимо,— когда он достигнет точки В, черепаха, как бы медленно она ни ползла, уже будет в точке B1. Поскольку мы предполагаем, что пространство дискретно и его можно делить бесконечно, то между двумя точками B и B1 всегда будет некоторое расстояние. Пока Ахиллес преодолевает отрезок BB1, черепаха дойдет до точки B2, и так до бесконечности. За конечный промежуток времени Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Необходимо было преодолеть эту двойственность, чтобы дать геометрии твердые основы. Геометрические величины — линии, поверхности и тела — являются делимыми до бесконечности или состоят из атомов? Евклид в «Началах» и Архимед в «О шаре и цилиндрах» утверждают, что...

«...величины делимы до бесконечности и, следовательно, не содержат атомов».

Ахиллес и черепаха.

Таким образом, делая выбор из двух одинаково приемлемых (или неприемлемых) положений, мыслители преодолевают сложности, возникающие из-за отсутствия четкого определения величины. Вполне вероятно, что в геометрии важнее не что такое величина, а как с ней работать. Однако отсутствие концептуальной ясности в какой бы то ни было области может привести к парадоксальным ситуациям, которые невозможно предвидеть в самом начале. Как трактуются величины в «Началах»? Нарушает ли это понятие строгий порядок изложения геометрической теории?

ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ

Если вместо UV мы выберем единицей измерения

U₁V₁ = k x UV = UV + ...(k раз) + UV, то

AB = m/k x U₁V₁ и CD = n/k x U₁V₁.

Другими словами, k х АВ = m х U₁V₁, k x CD = n x U₁V₁, и они относятся друг к другу как m/n, поскольку, по предложению 3 книги V,

АВ/CD = (k x AB)/(k x CD) = (m x U₁V₁)/(n x U₁V₁) = m/n.

Если мы говорим об отношении между величинами, необязательно использовать отдельную единицу измерения для каждого типа величины.

НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Уже в пифагорейской школе обозначился кризис, позже названный некоторыми историками первым кризисом устоев математики. Ранее считалось, что два отрезка всегда соизмеримы. Если даны два отрезка АВ и CD, всегда можно найти общий для них обоих (с точки зрения их размера) отрезок UV] другими словами, всегда существует отрезок UV, который точно измеряет эти два отрезка. Следовательно, АВ = m х UV, a CD = n х UV. Мы также можем сказать, что между АВ и CD есть отношение, которое выражается как m/n, или m : n. Понятие отношения имеет огромное значение, поскольку позволяет обойтись без конкретного мерного отрезка UV. Не важно, какую меру длины мы используем — метры, сантиметры или километры, — отношение двух длин не меняется в зависимости от изменения единицы их измерения. Но не всегда мы можем выразить это отношение в виде чисел: не все можно свести к числовым вычислениям (с натуральными числами, то есть положительными и целыми). Если взять теорему Пифагора, можно вычислить диагональ АС квадрата с произвольной стороной АВ (см. рисунок 1). Поскольку АС = АВ,

АС^² = АВ^² + ВС^² = АВ^²+АВ^² = 2хАВ^².

Предположим, что АВ и АС несоизмеримы. Мы получим: АВ = m х UV, АС = n х UV. Следовательно, АВ^² = m^² х UV^², АС^² = n^² х UV^². Отсюда n^² х UV^² = 2 х m^² х UV^² и, следовательно, n^² = 2 х m^², что невозможно. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Все, что мы только что рассмотрели (это не объясняется отдельно в «Началах», но позволяет лучше понять результаты и пределы такого объяснения), стало трагедией для пифагорейской школы, которая утверждала, что «[натуральное] число есть отношение всего ко всему».

РИС. 1

По мнению пифагорейцев, все можно было измерить натуральными числами, другими словами, все величины соизмеримы между собой. Но, как мы только что увидели, существуют отрезки, у которых нет никакой общей единицы измерения. Более того, Феодор Киренский разработал метод для геометрического построения бесконечного числа несоизмеримых отрезков — спираль Феодора Киренского. Она строится начиная с отрезка, длина которого принимается за единицу. С помощью итеративного алгоритма затем строится последовательность прямоугольных треугольников с общей вершиной, а первоначальный отрезок остается коротким катетом первого из них (см. рисунок 2).

РИС. 2

Гипотенузы прямоугольных треугольников, составляющих спираль, последовательно равны квадратному корню из 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (хотя третье число в этой последовательности является натуральным — 2). Большая часть этих чисел иррациональные, то есть их нельзя записать как отношение двух натуральных чисел. Сегодня мы бы сказали, что любое действительное число (этого понятия в Древней Греции не существовало), выраженное как √n, где n — натуральное число, не являющееся идеальным квадратом (то есть квадратом без десятичных долей другого целого числа), иррациональное. Изучению несоизмеримых линий Евклид посвятил книгу X.

ИТЕРАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СТОРОН И ДИАГОНАЛЕЙ КВАДРАТА

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата можно доказать чисто геометрически, в том числе и методом доведения до абсурда. Для этого надо применить итеративный алгоритм: исходя из конкретного случая строятся другие, более мелкие фигуры, сохраняющие такие же соотношения. Рассмотрим квадрат ABCD со стороной а=АВ и диагональю d = АС.

Отложим сторону на диагонали. Мы получим отрезок АВ’. Проведем касательную к полуокружности ВВ', касающуюся ее в точке В она пересечет сторону ВС в точке А'. Соединим В' и А' и получим прямоугольный равнобедренный треугольник СВ'А' и квадрат СВ'А'D'. Мы построили новый квадрат со стороной А'В' = АС - АВ [а' = d - а] и диагональю А'С = ВС - А'В [d' = а - а' ], где АС > А'С и АВ > В'С. Ясно, что если u измеряет одновременно и а = АВ, и d = АС, то будет измерять а' и, следовательно, d'. Мы можем повторить проделанное и получить пары [a, d] > [а', d ] > [а", d"] > [а'", d'"] > ... соизмеримых сторон и диагоналей квадратов. В какой-то момент диагональ или сторона станут меньше единицы измерения и, что невозможно.

ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ

Но возможно ли рассмотреть соотношение несоизмеримых величин? Отвечая на этот вопрос, нельзя не обратиться к наследию гениального Евдокса Книдского, автора идей, содержащихся в V и VI книгах. Начнем анализ книги V с первых четырех определений.

Определение 1. Часть есть величина от величины, меньшая от большей, когда она измеряет большую.