Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Вместо развернутого теоретического обсуждения обратимся к конкретике. Лучше всего провести параллель с одним из видов искусства. Мы уже говорили в предисловии, что искусство дает множество примеров, но пусть читатель не забывает, что они могут быть довольно неожиданными.

Поэтому вместо того чтобы задуматься, в чем именно заключается красота математики, попытаемся ответить на другой вопрос: в чем заключается красота Парфенона?

Строительство Парфенона на афинском Акрополе началось примерно в 447 году до н. э., спустя несколько десятилетий после того, как персы опустошили город и разрушили Акрополь до основания. Строительство Парфенона продолжалось почти десять лет, еще несколько лет ушло на завершение отделки под руководством скульптора Фидия. Из греческого храма Парфенон превратился в церковь, затем — в мечеть, а в XVII веке турки использовали его как пороховой склад. В1687 году храм серьезно пострадал при обстреле Афин венецианским флотом. В начале XIX века англичане демонтировали значительную часть скульптур и фризов, украшавших фронтоны здания, так как они якобы нуждались в реставрации. Эти украшения до сих пор находятся в Британском музее.

Однако оставшихся украшений, которые сохранились до наших дней, достаточно, чтобы мы смогли ответить на вопрос, в чем заключается красота Парфенона.

Если мы внимательно рассмотрим здание Парфенона, то увидим, что его размеры гармоничны, его колонны, слегка наклоненные к центру, имеют соразмерные пропорции, а их особая форма компенсирует оптические искажения. Даже горизонтальные линии здания — например, линии антаблементов и лестниц — искривлены так, что кажутся прямыми. За счет этого, по словам Джорджа Сантаяны, удалось избежать сухости и жесткости, свойственной длинным прямым линиям. (Возможно, подобные искривления, как отмечает архитектор Оскар Тускетс, объясняются не столько эстетическими, сколько практическими причинами: они обеспечивали сток дождевой воды, попадавшей в перистиль.) Наконец, Парфенон отличает гармония декоративных элементов, в том числе элементов фронтонов главных фасадов, которые мы можем представить — если нам позволит сила воображения, — глядя на рисунки, планы здания и остатки украшений, хранящихся в Британском музее.

Вывод очевиден: красота Парфенона — в гармонии его архитектурных элементов. Взяв этот вывод за основу, зададимся вопросом: из каких элементов состоят математические рассуждения? Они состоят из математических идей. Иными словами, красоту математических рассуждений следует искать в гармоничном сочетании математических идей, из которых они состоят.

Этот вывод, к которому мы пришли не совсем прямым путем, привел еще Годфри Харолд Харди почти три четверти столетия назад в своем эссе «Апология математика». В этой небольшой книге, о которой мы подробнее поговорим в главе 4, Харди пишет: «Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «образы» долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике».

Парфенон, вид сбоку. Вы можете видеть, какой ущерб был нанесен зданию в 1687 году при взрыве турецкого порохового склада, располагавшегося внутри храма.

Одна из метоп Парфенона, которая в настоящее время хранится в Британском музее. Эта метопа украшала южный фриз храма, декоративные элементы которого были посвящены кентавромахии.

Настало время продемонстрировать гармоничное сочетание математических идей. По разным причинам, которые я объясню чуть позже, я выбрал одно из них, не только очень красивое, но и необычное: это расчет квадратуры сегмента параболы, изложенный Архимедом в «Методе», одном из его фундаментальных трудов. Этому примеру мы посвятим оставшуюся часть главы, так как, учитывая цель, которую поставил перед собой автор этой книги, совершенно необходимо изложить все сопутствующие обстоятельства и привести исторический контекст. Поэтому прежде чем привести сам пример, вкратце расскажем о «жизни и чудесах» Архимеда. Сначала мы изложим историю его смерти — возможно, одну из самых символичных историй античного мира.

Смерть Архимеда и его инженерные достижения

О смерти Архимеда говорится в произведениях разных эпох, начиная от мозаики, найденной при раскопках Помпеи, и заканчивая фресками Пеллегрино Тибальди в библиотеке монастыря Эскориал в Мадриде и картиной Делакруа.

Эта история произошла в 212 году до н. э., спустя пять лет после взятия Сагунта войсками Ганнибала, что стало началом Второй пунической войны. В этом году основные военные действия переместились на Сицилию, в частности в Сиракузы — город, дружественный Карфагену, который в то время осаждали войска римского генерала Марка Клавдия Марцелла. Рим хотел взять остров под контроль и захватить урожай зерновых. Штурм Сиракуз завершился неудачей. Только после длительной осады город сдался армии Марцелла, и римские солдаты занялись грабежами и разбоем. Во время этих беспорядков и был убит Архимед, которому в то время уже перевалило за 70. Римский писатель Валерий Максим спустя два столетия так описывал это событие:

«Римский солдат, ворвавшийся в дом Архимеда, чтобы ограбить его, направил на ученого меч и спросил его, кто он такой. Архимед, целиком погруженный в решение задачи, не назвал себя и, указав на линии, проведенные на песке, сказал: «Пожалуйста, не трогай моих чертежей». Солдат, услышав в ответе ученого оскорбление, отрубил ему голову, и кровь Архимеда смешалась с плодами его науки».

На этой мозаике, найденной на раскопках Помпеи, изображен римский солдат, который через мгновение обезглавит Архимеда, и кровь ученого прольется на его чертежи.

Смерть Архимеда следует считать трагической случайностью, так как генерал Марцелл приказывал найти мудреца и сохранить ему жизнь. Плутарх в I веке так описывал этот эпизод в своей «Жизни Марцелла»: «Нельзя усомниться в том, что Марцелл очень сожалел об этом и, извергая проклятия, приказал привести к нему солдата, который убил Архимеда. Затем Марцелл повелел разыскать родственников Архимеда и окружить почетом» [2].

Марцелл проявлял интерес к Архимеду не потому, что тот был известным математиком: Архимед также был видным инженером. По легенде, он обладал сверхъестественным даром изобретательства, и его считали почти полубогом: «Все тайны Вселенной были известны Архимеду, — пишет Силий Италик в своей поэме «Пуника» (I век). — Он знал, когда неяркие лучи нарождающегося солнца предвещают бурю, неподвижна ли Земля или вращается вокруг оси, почему море, распростершееся по земному шару, приковано к его поверхности, почему возникают волны на море и каковы фазы Луны, какому закону подчиняются океанские приливы и отливы. Он стал известен тем, что сосчитал, сколько песчинок на Земле; он, кто смог снять с мели галеру силами одной женщины; он, кто поднял гору камней против уклона земли».

У Плутарха мы также находим упоминание легендарной способности Архимеда использовать рычаги: «Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был в дружбе и родстве, что данною силою можно сдвинуть любой данный груз; как сообщают, увлеченный убедительностью собственных доказательств, он добавил сгоряча, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места нашу» [3].