Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Символы, использующиеся в тексте, и их значение

АВ

Прямой отрезок, соединяющий точки А и В

<АВС

Угол со сторонами АВ и ВС и вершиной в точке В

ΔАВС

Треугольник с вершинами А, В, С

□АС

Квадрат с противоположными вершинами А и С

□АС

Прямоугольник с противоположными вершинами А и С

□АС

Параллелограмм с противоположными вершинами А и С

ABCD...M

Многоугольник с вершинами А, В, С, D М

○ОА

Круг или окружность с центром О и радиусом ОА

ок. 585 дон.э.Фалес Милетский. Дедуктивная геометрия.

540 дон.э. Пифагор Самосский. Пифагорейская арифметика и геометрия.

450 дон. э. Парменид и сферическая Земля.

430 дон.э. Смерть Зенона. Сочинения Демокрита. Астрономия Филолая. «Начала» Гиппократа Хиосского.

428 дон.э. Рождение Архита. Смерть Анаксагора.

427 до н. э. Рождение Платона.

420 дон.э. Гиппия и трисекция угла. Появление понятия несоизмеримых величин.

360 дон.э. Евдокс: теория отношений и метод исчерпывания.

350 до н. э. Менехм и конические сечения. Квадратриса Динострата.

335 до н. э. Евдем и история науки.

ок. 325 до н. э. Рождение Евклида.

320 до н. э. Аристея и конические сечения.

300 до н. э. «Начала» Евклида.

ок. 265 до н. э. Смерть Евклида.

260 до н. э. Гелиоцентрическая астрономия Аристарха Самосского.

ок. 250 до н. э. Сочинения Архимеда.

230 до н. э. Решето Эратосфена.

225 дон. э. Аполлоний и конические сечения.

212 до н. э. Смерть Архимеда.

180 дон.э. Циссоида Диокла. Конхоида Никомеда. Гипсикл и традиция разбиения полного угла на 360°.

140 до н. э. Тригонометрия Гиппарха.

60 до н. э. Гемин и постулат о параллельных прямых.

75 Сочинения Герона Александрийского.

100 «Введение в арифметику» Никомаха Герасского. «Сферика» Менелая.

125 Теон Смирнский и арифметика.

150 «Альмагест» Птолемея.

250 «Арифметика» Диофанта.

320 «Математическое собрание» Паппа.

415 Смерть Гипатии и закрытие библиотеки и Мусейона в Александрии. Конец греческой языческой науки.

485 Смерть Прокла.

520 Анфимий из Тралл и Исидор Милетский.

ГЛАВА 1

Евклид Александрийский

О жизни Евклида почти ничего не известно. Мы знаем, что он работал в Александрии, одном из главных интеллектуальных центров древнегреческого мира, и основал там знаменитую школу математики. Достижения великих ученых являются синтезом наследия предшественников и их собственной работы, результатом их интеллектуального труда и творчества. Это справедливо и в случае Евклида.

Нам почти ничего не известно о жизни Евклида, а теми немногими сведениями, которыми мы располагаем, мы обязаны древнегреческому философу-неоплатонику Проклу, который записал их через шесть веков после смерти математика. Прокл рассказывает, что Евклид работал в Александрии — городе, основанном Александром Македонским (356-323 до н. э.) в 332 году до н. э. и ставшем столицей империи во время правления египетского царя Птолемея I Сотера (Спасителя). Птолемей построил знаменитую библиотеку, которую его сын Птолемей II Филадельф расширил, основав Мусейон. Прокл утверждает, что Евклид учился в Академии Платона и был знаком с сочинениями Аристотеля. Переселившись в Александрию, он основал там школу и заложил основы математической традиции, которую изложил в нескольких сочинениях, в том числе «Началах», написанных в зрелом возрасте.

Евклиду приписывают два знаменитых высказывания. На вопрос царя Птолемея I «Нет ли пути короче, чем тот, о котором ты пишешь в «Началах», чтобы изучить геометрию?» он дал резкий ответ: «В геометрии нет царских путей». Второе — его реакция на вопрос ученика о том, какую пользу принесет ему изучение геометрии. Евклид приказал рабу: «Дай ему три обола[¹ Медная монета в Древней Греции. — Примеч. ред.], раз он хочет извлекать прибыль из учебы». Этот великий грек оформил в «Началах» математическое учение, зародившееся за три века до этого и просуществовавшее до VI века, еще девять веков после его смерти, произошедшей около 265 года до н. э. Таким образом, Евклид осуществил великий синтез трех столетий древнегреческой математики, которая, судя по объему сочинения древнего мудреца, была очень развитой дисциплиной, особенно если учесть, что в «Началах» не рассматривались многие вопросы, изучавшиеся в Академии.

ПРОКЛ ДИАДОХ

Древнегреческий философ Прокл (412-485) был выдающимся представителем неоплатонизма. Он родился в Византии, но стал известен как Прокл из Ликии, потому что его родители, выходцы из Ксанфа, хотели, чтобы он получил начальное образование в этой юго-западной провинции Малой Азии. Подростком Прокл отправился в Афины изучать риторику, а затем получал образование в Византии. После этого он вернулся в Афины. Там Прокл учился у Плутарха Афинского (не путать с автором «Сравнительных жизнеописаний») и у философа-неоплатоника Сириана Александрийского. После смерти последнего Прокл принял руководство Академией, из-за чего получил прозвище Диадох («преемник»). Эту должность он занимал на протяжении 40 лет. Несмотря на то что это был период упадка эллинизма, его труды очень важны для лучшего понимания «Начал». Из огромного наследия Прокпа до нас дошли только несколько сочинений, написанных в духе платоновской теологии, поскольку в то время учение Платона считалось божественным, а доктрины Аристотеля — введением к нему.

Биографические заметки Прокла собраны в комментарии к первой книге «Начал» Евклида. В этом действительно очень важном тексте содержатся ценные исторические, эпистемологические и методологические сведения о Евклиде и его предшественниках. Прокл пишет:

«Немного младше последних [Гермотима и Филиппа] Евклид, составивший «Начала», собравший многое из открытого Евдоксом, улучшивший многое из открытого Теэтетом, а помимо этого сделавший неопровержимыми доказательствами то, что до него доказывалось менее строго.

Он жил при Птолемее I, потому что и Архимед, живший при Птолемее I, упоминает о Евклиде. [...] Он моложе платоновского кружка и старше Эратосфена и Архимеда. [...] Он принадлежит к платоникам и близок их философии, почему и поставил целью всего своего изложения «Начал» описание так называемых пяти платоновских тел».

Прокл ничего не говорит о месте рождения Евклида, из-за чего мы можем предположить, что он о нем не знал, но рассказывает знаменитый случай о «царском пути» в изучении геометрии. Вероятно, лучшее резюме биографии Евклида сделал английский писатель Эдвард Фостер в своем путеводителе по Александрии:

«Мы ничего о нем не знаем; честно говоря, сегодня он для нас — скорее свод знаний, чем человек».

ДРУГИЕ СОЧИНЕНИЯ ЕВКЛИДА

Известно, что кроме «Начал» Евклид написал и другие труды. В прологе ко второй части своего комментария Прокл приписывает ему следующие тексты: