Истина в пределе. Анализ бесконечно малых
Истина в пределе. Анализ бесконечно малых читать книгу онлайн
Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.
Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних чтение данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту [email protected] для удаления материала
Он перевелся в Альдорфский университет в Нюрнберге, где смог защитить работу о некоторых сложных случаях в юриспруденции. Лейбницу была предложена должность преподавателя, но он отказался. Он никогда не выказывал особенного энтузиазма по поводу университетов (возможно, небезосновательно) и был сторонником создания альтернативных учреждений для развития науки и мысли. В частности, Лейбниц способствовал созданию научного журнала Acta eruditorum в своем родном Лейпциге, а также принимал активное участие в учреждении Берлинской академии наук, президентом которой он был с момента ее основания в 1700 году. Санкт-Петербургская же академия была создана царем Петром I по совету Лейбница уже после смерти ученого.
Возможно, в Нюрнберге в 1667 году Лейбниц познакомился со своим первым покровителем, бароном Иоганном Кристианом фон Бойнебургом, который помог ему поступить на службу в Майнце. Благодаря этому Лейбниц в 1672 году смог посетить Париж. Ему было поручено представить двору короля Людовика XIV проект военного союза для последующего нападения на Египет, чтобы отвлечь внимание Франции от голландских земель. Эта миссия по созданию союза двух церквей против неверных могла служить прикрытием для другого, более прозаичного задания: Лейбниц должен был заняться вопросом ренты и пенсиона, которые полагались его покровителю фон Бойнебургу во Франции. Как бы то ни было, Лейбниц пробыл в Париже до октября 1676 года. Это путешествие стало решающим этапом в его обучении многим наукам и, разумеется, математике, так как именно в последние месяцы пребывания в Париже он создал анализ бесконечно малых.
Лейбниц и анализ бесконечно малых
«Почти все остальные крупные математики, — писал в XX веке Иозеф Хоффман, видный исследователь биографии Лейбница, — увлекались математикой уже в юные годы и разрабатывали радикально новые идеи. Однако этот период в жизни Лейбница не был ознаменован какими-либо заметными математическими открытиями». И в этом, и во многом другом Лейбниц очень отличается от Ньютона.
Когда Лейбниц прибыл в Париж, ему было уже 26 лет. К этому времени он был лишь поверхностно знаком с «Началами» Евклида и знал немногим больше элементарной арифметики, изученной в школе по книге Клавия. Как рассказывал много лет спустя один из его первых учеников Иоганн Бернулли, издание «Геометрии» Декарта с комментариями Ван Схотена, с которым Лейбниц бегло ознакомился в университете, показалось ему слишком сложным. В Нюрнберге, где он жил после получения степени доктора в Альдорфском университете (1666 год), он поверхностно изучил Geometria indivisibilibus Кавальери. Так что, когда он прибыл в Париж в марте 1672 года, его знания были весьма плачевными, хотя, по словам Хоффмана, математика была у Лейбница в крови.
Сохранилось множество рукописей и документов Лейбница, в частности почти все, написанное им в период обучения в Париже. Эти документы позволяют понять, как проходило его обучение и как он пришел к открытию анализа бесконечно малых.
В первый год в Париже Лейбниц был дилетантом в математике. Позднее он сам признавался, что мучился от недостатка знаний. В этом же году он впервые побывал в Лондоне, где при посредничестве Ольденбурга и Коллинза познакомился с английскими математиками. Его «святая простота», о которой он знал, его недооценка собственных возможностей вкупе с излишней открытостью и общительностью не раз приводили к недопониманию с британскими математиками и впоследствии стали одной из причин обвинений в плагиате.
Осенью 1672 года он познакомился с Христианом Гюйгенсом, самым известным ученым и математиком Европы, который в то время получал жалование во Французской академии наук. К тому времени Лейбниц уже совершил свое первое математическое открытие: он показал, как использовать разность для сложения чисел. Позднее он упоминал, что на мысль о взаимно обратной связи дифференцирования и интегрирования его навела взаимно обратная связь между сложением и вычитанием.
Рассуждения Лейбница были таковы. Допустим, что требуется найти сумму а1 + а2 + а3 + … + аn. Нам известно, что каждое из этих чисел является разностью двух других: ak = bk+1 — bk. Следовательно, простое сокращение последовательных членов bk означает, что а1 + а2 + а3 + … + аn = bn+1 — b1.
Ввиду врожденного оптимизма и недостатка математических знаний Лейбниц посчитал, что открыл способ нахождения суммы произвольных рядов чисел. Его уверенность только усилилась, когда он поделился своим открытием с Гюйгенсом и тот предложил найти сумму чисел, обратных треугольным числам:
По случайному совпадению, этот ряд — один из немногих, к которым применим способ, открытый Лейбницем, так как члены этого ряда имеют вид 1/n(n+1), то есть равны разности между 1/n и 1/(n+1). Таким образом,
Лейбниц вычислил суммы похожих рядов, образованных пирамидальными числами, и подготовил небольшую статью для публикации в Journal des Savants. Однако статья так и не увидела свет, поскольку весь 1673 год журнал не издавался. В этой статье Лейбниц цитирует Кавальери, Галилея, Валлиса, Грегори, Паскаля, Сен-Венсана и Архимеда, а также упоминает Гоббса как великого математика, что указывает на определенный прогресс в его образовании.
В январе 1673 года Лейбниц впервые посещает Лондон. Свой первый визит он нанес Генри Ольденбургу, секретарю Лондонского королевского общества и своему соотечественнику, который принял его с распростертыми объятиями.
Ольденбург родился в немецком городе Бремене. О его юности известно очень немногое. Примерно в 1654 году он был уполномочен властями Бремена на выполнение дипломатической миссии в Англии, где в то время правил Оливер Кромвель. С 1654 по 1661 год, когда он был избран членом Лондонского королевского общества, он с перерывами находился в Англии, Ольденбург упоминается как один из секретарей Королевского общества в двух первых письмах короля, датированных 1662 и 1663 годом. Этот пост он занимал в течение 15 лет, вплоть до своей смерти в 1677 году. Он создал полноценную систему архивов и поддерживал переписку со многими учеными Англии и других стран, что позволило ему осуществлять важнейший обмен идеями. Именно через него проходили письма, которыми обменивались Ньютон и Лейбниц в 1676-1677 годах. Их переписка прекратилась со смертью Ольденбурга. Не забывайте, насколько сложным в те годы было поддержание подобных связей: почта в то время где-то не существовала вовсе, где-то работала крайне ненадежно, особенно при передаче писем между странами, находящимися в состоянии войны. Используя дипломатические каналы, Ольденбург создал сеть посредников, которые передавали корреспонденцию, что было особенно ценно во время войны. Подобный шаг был достаточно рискованным: в 1667 году Ольденбург провел несколько месяцев в лондонском Тауэре, возможно, из-за того, что позволил себе «недостаточно патриотичные высказывания» о британских властях в письме к иностранцу.
22 января 1673 года Лейбниц представил Лондонскому королевскому обществу деревянную модель вычислительной машины, способной выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Хотя модель, изготовленная в Париже, была несовершенной, именно за ее создание Лейбниц впоследствии был избран членом Королевского общества. Ольденбург сообщил ему об этом в письме, написанном в апреле того же года, однако два месяца спустя напомнил, что он обещал представить членам общества усовершенствованную модель. Свое обещание Лейбниц выполнил лишь несколько лет спустя.
