В погоне за красотой

С сегодняшних наших позиций мы понимаем, что эта группа математиков, по существу, доказывала начальные теоремы неевклидовой геометрии, что они были на наиболее обнадеживающем пути, потому что только так можно было прийти к идее независимости Евклидова постулата от остальных. Но им-то от этого не было легче.

Как правило, в итоге они либо отчаивались, либо перекочевывали в лагерь «эклектиков».

Надо заметить, что многие из доказательств «эклектической группы» великолепны по своему остроумию.

Если чуть огрубить реальную историю, то можно сказать, что в основном пробовали доказывать две главные разновидности пятого постулата:

1. Перпендикуляр и наклонная пересекаются.

2. Сумма углов треугольника равна π.

На этих путях было найдено несколько очень наглядных эквивалентов пятого постулата. Иногда авторы понимали, что нашли эквивалент; иногда они, заблуждаясь, думали, что доказали пятый.

Вот несколько «эрзацев» ^[2].

1. «Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть прямая».

2. Расстояние между двумя непересекающимися прямыми остается ограниченным ^[3].

3. Существуют подобные фигуры.

4. Если расстояние между двумя прямыми сначала убывает при движении вдоль этих прямых в каком-то направлении, то оно не может начать увеличиваться до тех пор, пока прямые не пересекутся.

И так далее.

Всего насчитывают более 30 формулировок.

Для развлечения читателей я приведу несколько «доказательств» пятого постулата без каких-либо критических комментариев. Читатели могут (при желании, конечно) установить самостоятельно, какой постулат использовал тот или иной автор вместо пятого.

1. Доказательство Прокла. Одно из самых первых, одно из самых простых и самых остроумных.

Прокл берет за основу утверждение Аристотеля: При продолжении двух прямых от точки пересечения расстояние между ними неограниченно возрастает.

Он считает, что это аксиома.

На самом деле это теорема, причем теорема, совершенно независимая от пятого постулата. Так что этой теореме можно полностью доверять. Она принадлежит к «абсолютной геометрии» и, следовательно, как мы понимаем сегодня, справедлива и в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. А постулат — эквивалент Прокла — другой.

Вот и доказательство. Точнее, его эскиз. (Ни здесь, ни в следующем доказательстве я не буду придерживаться строгой, формальной схемы.)

Проведем две заведомо параллельные прямые. То есть такие, что <A + <C₁ = π.

Проведем третью прямую. Как? Видно на чертеже, она показана пунктиром.

Расстояние между пунктирной прямой и верхней (при движении влево) неограниченно возрастает.

Следовательно, оно когда-нибудь превысит расстояние между параллельными.

Ну, а тогда ясно, что пунктирная прямая пересечет нижнюю.

Предлагается сформулировать все вполне строго и указать, какой постулат неявно использовал Прокл.

2. Доказательство Валлиса.

Докажем, что перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются.

Опустим из точки В перпендикуляр на секущую. Получим Δ ABC. Возьмем подобный ему треугольник, такой, чтобы его сторона, соответствующая стороне АС, была равна отрезку AD.

Ввиду его значения выделим ему отдельный чертеж. Это Δ A₁D₁F₁.

Наложим теперь этот пунктирный треугольник на наш Δ ABC так, чтобы сторона A₁D₁ легла на АС.

Тогда сторона A₁F₁ уляжется на нашу наклонную, а сторона D₁F₁ на наш перпендикуляр.

По существу, мы уже все доказали; осталось несколько формальностей. Я предоставляю их читателям.

Не будем особенно увлекаться примерами. Интереснее, пожалуй, вот что.

Десятки математиков, люди самых разных культур, люди, разделенные столетиями, часто, совершенно не зная друг о друге, мыслили почти идентично, почти дословно повторяли путь предшественников.

До XVIII столетия, доказывая пятый постулат от противного, не слишком далеко тянули цепь следствий, не слишком углублялись в анализ. В какой-то момент решали: ага, вот оно — противоречие. А на самом деле это противоречие, конечно, оказывалось эквивалентом пятого постулата.

Но поскольку шли не очень далеко, охотников оказывалось больше, чем зайцев. Математиков, работавших над пятым постулатом, было больше, чем различных путей для доказательства. Пятым постулатом занимались почти все виднейшие математики мира. Об одном из них я хочу рассказать особо. Не потому, что его исследования по теории параллельных как-то резко выделяются по своему классу. Нет. Наиболее интересные его результаты относятся к алгебре. В теории параллельных он не ушел существенно дальше других. В этом смысле мы подарим ему неоправданно большое внимание. Более того, мы, по существу, ничего не будем говорить о его доказательстве пятого постулата. Правда, доказательство его весьма остроумно. Правда, в дальнейших работах восточных математиков явно чувствуется его влияние. Наконец, технический прием, использованный им, очень удачен и опережает западных математиков лет на шестьсот. (Об этом чуть-чуть подробней будет сказано дальше.) Но в конце концов сам пятый постулат нас не так уж волнует в этой книге.

Интересен же этот человек тем, что на его примере хорошо видишь, сколь ничтожно малы различия между людьми всех наций и всех веков.

Итак, я хотел бы поговорить о математике, известном у нас под именем поэта Омара Хаййама.

Глава 5

Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури

Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури.

Или — более привычное для слуха европейца — Омар Хаййам.

Восток, как всем известно, есть Восток. В отличие от Запада, который есть Запад.

Восток в сознании многих — это стандартный набор: гаремы, султаны, ислам, шальвары, халифы, кальяны, муэдзины, эмиры, гурии, минареты, шахи, палящее солнце, фонтаны, баядерки, Чингисхан и тень чинар. И лень, безмятежная, сонная лень в этой тени.

Во всяком случае, таков Восток в прошлом. Таким его представляют.

Действительно, все было на Востоке: и султаны, и шахи, и халифы, и эмиры, и прочее. Более того, в значительной части Востока сохранилось и сейчас.

Тем не менее Востока не было никогда.

Было и есть несколько десятков стран и более миллиарда людей. Более миллиарда. И я смею предполагать, что это довольно разные люди.

Можно думать также, что их внутренний мир тот же, что и у «жителей Запада».

Кстати, сам Киплинг — автор знаменитой формулы о Востоке и Западе — думал именно так. Эта мысль и защищается в его знаменитой балладе, из которой обычно (увы, это удел даже блестящих поэтов) помнят лишь первую строку.

Раз уж в этой главе мы непрестанно будем находиться в «атмосфере поэзии», стоит процитировать и Киплинга. Тем более стихи прекрасны.