Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Подход Габриеля Ламе и Огюстена Луи Коши заключался в том, чтобы попытаться разложить на множители левый член уравнения Ферма в следующем виде:  xⁿ + yⁿ = (x+y)(x+ςy)...(x+ς^n-1y), где х и у — обычные целые числа, а ς — числа, которые известны как алгебраические целые числа. Последние, несмотря на свое название,— комплексные числа (числа вида а + bi, где i равен √-1), появляющиеся в виде корней некоторого типа многочленов. Важно то, что если это разложение на множители является единственным, можно доказать, что нет решений для уравнения Ферма, то есть Последняя теорема истинна. Ламе и Коши открыли новый фронт: использование комплексных чисел в степени. Но Куммер доказал, что такое разложение на множители в целом невозможно. На основе этого он пытался найти условия, при которых можно было бы его осуществить, что привело его к изучению так называемых циклотомических полей. Они являются продолжением рациональных, полученных прибавлением одного из чисел ζ^k из предыдущего уравнения. Куммер впервые применил теорию групп к теории чисел. На основе этого немецкому математику удалось доказать, что существуют некие простые числа, которые не являются делителем числа, называемого числом класса идеалов, что служит характеристикой вышеупомянутого продолжения. Такие простые числа называются регулярными простыми числами.

Работа Куммера также была основополагающей для последующего обобщения его понятия идеальных чисел немецким математиком Рихардом Дедекиндом (1831-1916) при создании теории идеалов. Идеал, например, — это множество четных чисел, или кратных трем, однако существуют идеалы, не являющиеся числами, несмотря на то что к ним применимы близкие им понятия, такие как разложение на простые множители.

После смерти Куммера в 1893 году серьезные исследователи перестали заниматься поисками доказательства теоремы Ферма. В течение десятилетий эти поиски были уделом математиков-любителей, которые искали Грааль, обещающий славу и некое материальное вознаграждение (в начале XX века Пауль Вольфскель установил премию в 100 тыс. марок тому, кто докажет или опровергнет Великую теорему Ферма). Но методы, используемые этими любителями, были настолько же примитивны, как и методы самого Ферма, что снова и снова обрекало их на поражение. Изобретение компьютеров позволило начать поиски контрпримеров. Как известно, достаточно только одного контрпримера (в случае Ферма — найти по крайней мере одну тройку х,у и z натуральных чисел, для которых выполнялось бы равенство при n > 2), чтобы доказать, что теорема ложная. Наоборот, если нужно доказать ее истинность, не хватит и миллиона примеров.

Компьютеры, каждый раз все более мощные, позволили доказать в начале 1980-х годов, что Великая теорема истинна для всех значений п до четырех миллионов. Но этого было недостаточно. Хотя большинство математиков было убеждено в том, что теорема истинна, нельзя утверждать какой-то результат, сколько бы положительных случаев его ни подкрепляло. Ярким примером этого может служить гипотеза, которую сформулировал Эйлер в XVIII веке. В ней утверждалось, что равенство х⁴ + у⁴ + z⁴ = w⁴ не имеет натуральных решений. Только в 1988 году, примерно через 200 лет после смерти Эйлера, с помощью найденного контрпримера было доказано, что его гипотеза ложна. У уравнения существует следующее решение: x = 2682 440, у = 15365 639, z = 18 796 760, a w = 20 615 673.

Есть некая справедливость в том, что человек, который опроверг Ферма с его простыми числами, сам был, в свою очередь, опровергнут.

Но в 1983 году немецкий исследователь по имени Герд Фальтингс совершил гигантский прорыв, доказав, что если и существуют натуральные решения уравнения Ферма, то их число конечно. Это не доказывало теоремы, в которой говорится, что число решений равно нулю, но это был значительный прогресс. Будем осторожны и проясним, что конечное число решении может быть равно ₁₀10^{10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000} , так называемому "числу Скьюза", связанному с распределением простых чисел. Речь идет о невообразимо большом числе, намного большем, чем количество частиц во Вселенной, или даже большем, чем число возможных взаимодействий между этими частицами. Годфри Харди назвал его "самым большим числом, которое когда-либо имело применение в математике".

Метод Фальтингса основывался на дифференциальной геометрии. Она изучает, в общих чертах, обобщенные кривые и геометрические поверхности, используя для этого такие инструменты исчисления, как дифференцирование и интегрирование. Группа советских исследователей в 1970-х годах поняла, что можно связать некоторые проблемы теории чисел, то есть теории, к которой принадлежит теорема Ферма, с некоторыми проблемами дифференциальной геометрии. Эти исследователи построили мост между двумя островами, очень далекими друг от друга, соединяя специалистов, ранее не взаимодействовавших между собой.

Фальтингс связал уравнение Ферма (xn + yn = zn) с различными поверхностями в области дифференциальной геометрии, по одной для каждого значения n. Такие поверхности похожи на бублики, только вместо одной дырки в центре у них много дыр. Чем больше п, тем больше дыр. Фальтингс связал возможность существования более чем одной дыры с тем фактом, что у соответствующего уравнения Ферма есть конечное число решений. Это был большой шаг, но все еще недостаточный.

Возвращаясь к Великой теореме, никто не представлял себе, какие сюрпризы она может преподнести. Если математик эпохи Ферма работал с близкими нам элементами, такими как круги или простые числа, то исследователи последующих эпох стали создавать каждый раз все более любопытные элементы и пытались понять законы, которые регулируют их поведение.

Эллиптические кривые для с = 0 и различных значений a и b.

В этом месте повествования важно не расстраиваться, если не удастся понять сложных математических теорий, которые используются для того, чтобы "снести стену". Никакой неспециалист не может точно понять их. На самом деле только профессиональный ученый способен детально рассмотреть эти аргументы. Как бы то ни было, математики создали теорию, устанавливающую определенное соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными функциями.

Эллиптические кривые того типа, который нас здесь интересует (см. рисунок), — это просто уравнения вида: у² = х³ + ax² + bх + с; где а, b и с — целые числа. На самом деле они не эллипсы; своим названием кривые обязаны тому, что в прошлом их использовали для изучения траекторий планет. А модулярные функции, наоборот, несколько более странные "существа". Они обитают в том, что называется гиперболическим пространством, в котором у нас есть две оси, но они обе образованы комплексными числами. Вследствие этого, поскольку любое комплексное число имеет действительную и мнимую части, гиперболическое пространство на самом деле имеет четыре координаты. Поскольку наше несовершенное зрение ограничивается тремя пространственными координатами, мы не можем представить наглядно модулярную функцию. Итак, скажем, что модулярная функция является математическим объектом, существующим в гиперболическом пространстве и имеющим некоторые свойства. Одно из них — то, что их мнимая часть положительна, поэтому наши объекты находятся в верхней части пространства. Другие свойства не так просто описать, и мы опустим их в нашем изложении.

Итак, у каждой модулярной функции есть, по образному выражению Симона Сингха, ДНК — ряд чисел, которые полностью ее описывают и которые мы назовем М₁, М₂ ... М_n. Аналогично, у каждой эллиптической кривой есть, в свою очередь, другое ДНК, которое мы назовем E₁, Е₂, ... E_n.