Физика для всех. Движение. Теплота

Взвешивание Земли

Прежде чем начать пользоваться законом всемирного тяготения, нам надо обратить внимание на одну важную деталь.

Мы только что высчитывали силу притяжения между двумя грузами, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. А если бы эти тела находились на расстоянии 1 см? Что же подставлять в формулу – расстояние между поверхностями тел или расстояние между центрами тяжести или что-нибудь третье?

Закон всемирного тяготения F= γ( m ₁ m ₂/ r ²) можно со всей строгостью применять тогда, когда подобных сомнений не возникает. Расстояние между телами должно быть много больше размеров тел; мы должны иметь право рассматривать тела как точки. Как же применить закон к двум близким телам? В принципе просто: надо мысленно разбить тела на маленькие кусочки, для каждой пары подсчитать силу F, а затем сложить (векторно) все силы.

В принципе это просто, но практически довольно сложно.

Однако природа помогла нам. Расчет показывает: если частицы тела взаимодействуют с силой, пропорциональной 1/ r ², то шарообразные тела обладают свойством притягиваться как точки, расположенные в центрах шаров. Для двух близких шаров формула F= γ( m ₁ m ₂/ r ²) точно справедлива, как и для далеких, если r– расстояние между центрами шаров. Мы уже использовали это правило раньше, вычисляя ускорение на поверхности Земли.

Теперь мы имеем право применять формулу тяготения для вычисления силы притяжения тела Землей. Под rмы должны понимать расстояние от центра Земли до тела.

Пусть M– масса и R– радиус Земли. Тогда сила притяжения тела массы mу земной поверхности

Но ведь это же вес тела, который мы всегда выражаем как mg. Значит, ускорение силы тяжести

g= γ· m/ r ²

Теперь-то мы можем сказать, как взвесили Землю. g, γ и R– известные величины, массу Земли можно вычислить из этой формулы. Таким же способом можно взвесить и Солнце.

Но разве можно назвать такое вычисление взвешиванием? Конечно, можно; косвенные измерения играют в физике не меньшую роль, чем прямые.

Решим теперь любопытную задачу.

В планах создания всемирного телевидения существенную роль играет создание «висящего» спутника, т.е. такого, который все время находился бы в одной и той же точке плоскости экватора над земной поверхностью. Будет ли такой спутник испытывать трение? Это зависит от того, насколько далеко от Земли ему придется совершать свое вращение.

«Висящий» спутник должен вращаться с периодом T, равным 24 часам. Если rесть расстояние спутника от центра Земли, то его скорость v= 2π r/ Tи его ускорение v ²/ r= (4π ²/ T ²) r. C другой стороны, это ускорение, источником которого является земное притяжение, равно γ( M/ r ²) = g( R ²/ r ²).

Приравнивая величины ускорений, получим:

Подставляя округленные значения g= 10 м/с ², R= 6·10 ⁶м и T= 9·10 ⁴с, получим: r ²= 7·10 ²², т.е. r≈ 4·10 ⁷м = 40 000 км. На такой высоте атмосферного трения нет, и «висящий» спутник, если его удастся создать, не будет замедлять своего «неподвижного бега».

Измерения g на службе разведки

Речь идет не о военной разведке. Там знание ускорения силы тяжести ни к чему. Речь идет о геологической разведке, цель которой – найти залежи полезных ископаемых под землей, не роя ям, не копая шахт.

Существует несколько методов очень точного определения ускорения силы тяжести. Можно найти gпросто взвешиванием стандартного груза на пружинных весах. Геологические весы должны быть предельно чувствительны – их пружина изменяет растяжение при добавлении нагрузки меньше чем в миллионную долю грамма. Превосходные результаты дают крутильные кварцевые весы. Устройство их в принципе несложно. К горизонтально натянутой кварцевой нити приварен рычаг, весом которого нить слегка закручивается (рис. 65).

Для тех же целей применяется и маятник. Еще недавно маятниковые способы измерения gбыли единственными, и лишь в последние 10–20 лет их стали вытеснять более удобные и точные весовые методы. Во всяком случае, измеряя период колебания маятника, по формуле T= 2π·sqrt( l/ g) можно найти значение gдостаточно точно.

Измеряя на одном приборе значение gв разных местах, можно судить об относительных изменениях силы тяжести с точностью до миллионных долей.

Измеряя значение gв каком-либо месте земной поверхности, испытатель устанавливает: здесь значение аномально, оно меньше нормы на столько-то или выше нормы на такую-то величину.

Но что является нормой для величины g?

Значение ускорения силы тяжести на земной поверхности имеет два закономерных изменения, которые давно уже прослежены и хорошо известны исследователям.

Прежде всего gзакономерно уменьшается при переходе от полюса к экватору. Об этом говорилось выше. Напомним лишь, что такое изменение происходит по двум причинам: во-первых, Земля – не шар, и тело, находясь у полюса, будет ближе к центру Земли; во-вторых, по мере продвижения к экватору сила тяжести будет все больше ослабляться центробежной силой.

Второе закономерное изменение g– это уменьшение с высотой. Чем дальше от центра Земли, тем меньше g, в соответствии с формулой g= γ( M/( R+ h) ²), где R– радиус Земли, h– высота над уровнем моря.

Таким образом, на одной и той же широте и на одной и той же высоте над уровнем моря ускорение силы тяжести должно быть одинаковым.

Точные измерения показывают, что весьма часто встречаются отклонения от этой нормы – аномалии тяготения. Причина аномалий состоит в неоднородности распределения массы вблизи места измерения.

Как мы поясняли, сила тяготения со стороны большого тела может быть мысленно представлена как сумма сил, действующих со стороны отдельных частиц большого тела. Притяжение маятника Землей есть результат действия на него всех частичек Земли. Но ясно, что близкие частицы вносят наибольший вклад в суммарную силу – ведь притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния.

Если вблизи места измерения сосредоточены тяжелые массы, gбудет больше нормы, в обратном случае gменьше нормы.

Если, например, измерить gна горе или на самолете, летящем над морем на высоте горы, то в первом случае получится большая цифра. Например, на горе Этне в Италии значение gна 0,292 см/с ²выше нормы. Также выше нормы величины gна уединенных океанских островах. Ясно, что в обоих случаях возрастание gобъясняется сосредоточением дополнительных масс в месте измерения.

Не только величина g, но и направление силы тяжести может отклоняться от нормы. Если подвесить груз на нитке, то вытянутая нить покажет вертикаль для этого места. Эта вертикаль может отклониться от нормы. «Нормальное» направление вертикали известно геологам из специальных карт, на которых по данным о значениях gпостроена «идеальная» фигура Земли.