Хаос и структура

§ 97. Продолжение.

Понятие бесконечности настолько безнадежно запутано в популярном сознании ^[156]и настолько отягощено бесчисленными привнесениями, часто не имеющими никакого к нему отношения, что и ряд дальнейших разъяснений и примечаний будет совсем нелишним.

1. а) Из предыдущего исследования с полной ясностью вытекает ответ на вопрос, поставленный нами выше, — о различии между нулем и бесконечностью. Насколько это «ясно» всякому «здоровому» человеку, настолько это различие неясно философу, когда он хочет понять это различие до конца. Предыдущие рассуждения дают вполне достаточный материал для ясного решения этого вопроса. Почему нуль мы трактовали как синтез осуществленности внешнего инобытия числа, а бесконечность трактуем как синтез внутренней осуществленности?

Нуль получается на пути счета, т. е. на пути шествия готового числа в определенном направлении. Это и значит, что природа нуля определяется внешним движением числа, движением по внешнему инобытию. Когда утверждение отдельных этапов числа на пути этого движения переходит в отрицание и между ними — утверждением и отрицанием — устанавливается равновесие, тогда мы и получаем понятие нуля. Совершенно ясно, что на этом пути мы никакой бесконечности получить не можем. Сколько бы мы ни «утверждали» чисел и сколько бы их ни «отрицали», т. е., другими словами, сколько бы мы ни считали, мы никогда не достигнем этим способом бесконечного числа. Значит, центр тяжести переходит здесь с внешней судьбы числа на его внутреннее содержание. Ясно также и то, что бесконечность, будучи внутренним содержанием числа, является, несомненно, раскрытием этого содержания, и притом полным и всецелым раскрытием. Это вполне можно утверждать, даже не вникая во все подробности предложенной выше диалектики. Но тогда с полной необходимостью вытекает еще и тот вывод, что число с таким внутренним содержанием есть нечто синтетическое, т. е. синтез тоже некоего утверждения и некоего отрицания, но уже не в смысле нуля, а в другом смысле. И этот другой смысл всецело только и определяется тем, что здесь мы в атмосфере внутреннего числового содержания, а в случае с нулем вращались только в сфере внешней судьбы чисел.

b) Именно, мы должны утверждать целость и отрицать целость и дать то, что не есть ни то и ни другое, а некий своеобразный внутренний нуль. Утверждая целость числа, мы сохраняем его структурное единство; но, отрицая его, мы расслояем его на неразличимый хаос дологической текучести. И когда уже задаемся вопросом о синтезировании такого утверждения и такого отрицания, то прежнюю структурную целость приходится понимать как неразличимо и безгранично становящуюся, т. е. как бесконечность. Отсюда можно сказать, что бесконечность тоже есть некоторый нуль, но только этот нуль дан тут в своем внутреннем раскрытии. Она так же внутри себя неразличима и не расчленена, как неразличим и нерасчленим и нуль. Но нуль есть внешняя сторона бесконечности, а бесконечность—внутреннее его выявление, внутренне развернутый нуль. Бесконечность, как и нуль, точно так же совмещает в себе утверждение и отрицание. Но нуль есть внешнее тождество утверждения и отрицания, а бесконечность—внутренний смысл этого тождества, внутренно развернутое тождество утверждения и отрицания, существенно и внутренно развернутый нуль.

2. а) Из общей диалектики известна характеристика синтеза как границы. На нуле мы видели это очень отчетливо, потому что даже в ходовой математике нуль трактуется как граница между положительными и отрицательными числами. В отношении бесконечности это не очевидно само собой, и поэтому тут необходимы разъяснения. Бесконечность есть синтез целого и дробного; и, стало быть, необходимо, чтобы она была границей, отделяющей целое число от дробного, границей, оформляющей целое в его полном отличии от частей. Что это значит? Это значит то, что от целого никаким конечным процессом нельзя дойти до частей. Тут имеется в виду, конечно, не просто арифметическая невозможность, потому что арифметически взял да и разделил целую единицу на какие угодно части, никаких трудностей здесь не встречается. Тут имеется в виду невозможность свести самое понятие целого на отдельные части, невозможность по самому смыслу сводить целое на отдельные части. При наличии этой невозможности, что бы мы ни проделывали с целым, мы никогда не получим дробного и частей, потому что эти категории различны между собою чисто качественно. Целое по самому качеству своему есть нечто иное, чем часть, а не только просто по количеству. Так вот, диалектическое место бесконечности и требует того, чтобы между целым и отдельной частью залегал бесконечный процесс приближения целого к этой части, ибо ^[157]только в бесконечности можно количественно перейти от целого к отдельным частям. В этом смысле и необходимо утверждать, что бесконечность есть граница между целым и дробным.

b) Не нужно смущаться, что это очень большая граница. Прежде всего, она настолько же большая, насколько и малая, потому что бесконечность может быть и бесконечно большим числом, и бесконечно малым числом. И целое отстоит от своих частей, во–первых, на бесконечно далеком расстоянии, а во–вторых, на бесконечно малом; можно и без конца трудиться над переходом от части к целому — и никогда не дойти до этого целого; и можно в одно мгновение перейти от целого к части или от части к целому, невзирая ни на какие различия между тем и другим. Кроме же того, если бы расстояние между целым и дробным было только бесконечно большим (а еще в то же время и не бесконечно малым), то и в этом случае бесконечность с полным правом можно было бы назвать границей целого и дробного, ибо бесконечность действительно есть та область, которая является пограничной между целым и частями, между целым и дробным.

с) Нуль — граница между положительным и отрицательным; бесконечность — граница между целым и частями. Но если бесконечность есть, как мы видели, вообще развернутый нуль, то и в смысле границы бесконечность есть развернутый нуль. Бесконечность есть развернутая граница, в которой совпадало утверждение и отрицание; потому она — целая область, в которой совпадает утверждение и отрицание. Мы уже знаем, о каком утверждении и о каком отрицании может идти речь в применении к категории бесконечности.

3. а) Если число понимать чисто счетно и количественно, то, очевидно, бесконечность не есть число; и самое соединение слов «бесконечное число» бессмысленно. Дело в том, что бесконечность по самому качеству своему есть нечто иное, чем какое–нибудь количественное число. Всякое число конечно, и самое большое, и самое малое. Бесконечность с этой точки зрения совсем не есть число. Всякое число есть строго координированная раздельность и различенность. Бесконечность неразличима внутри себя самой и, значит, совсем не есть число. Конечные числа изменяются при операциях сложения и вычитания и пр. Бесконечность или совсем не реагирует на эти действия, или реагирует совершенно оригинально, так что обычные арифметические правила оказываются неприменимыми к бесконечности. Об этих действиях с бесконечными числами стоит говорить специально, но сейчас достаточно привести хотя бы один простейший пример, обнаруживающий полную смысловую оригинальность этого понятия.

Уже из элементарных рассуждений о бесконечности хорошо известно, что

<∞+A> = <∞–A> = <∞>.

Этот невинный пример доставляет очень много хлопот для логического анализа; и тут нужно двинуть аппарат, не меньший, чем тот, который использован нами выше. Пример этот показывает, что, сколько мы ни будем прибавлять к бесконечности конечных чисел и сколько ни будем их отнимать от нее, она все равно остается без перемен. Это говорит об очень многом. Прежде всего, данный пример прекрасно иллюстрирует наше основное учение о том, что в бесконечности часть и целое равны между собою. Действительно, та бесконечность, которая является одним из слагаемых, есть, по самому смыслу операции сложения, часть той бесконечности, которая в этом примере оказывается суммой. Ведь сумма больше каждого из своих слагаемых. Стало быть, бесконечность и больше самой себя, и меньше самой себя. Эту диалектику волей–неволей обязан признать каждый самый заклятый враг диалектики, потому что тут в конце концов даже не диалектика, а только математика и даже только арифметика. Но в то время как математик при этом только пожимает плечами и совершенно бессилен объяснить происхождение этого нарушения законов «формальной логики ^[158]» в операциях с бесконечностью, диалектик способен не только глубоко обосновать это нарушение, но и доказать невозможность никакой иной точки зрения.