Журнал «Компьютерра» № 31 от 28 августа 2007 года

Полноценное среднее образование давали классические гимназии с девятилетним обучением, где, помимо прочего, гимназисты изучали греческий и латинский – в университет принимали только лиц, владевших этими языками. В технические, горные и строительные академии можно было поступить после реальных гимназий (девятилетний курс обучения, латинский язык). Кроме того, были классические прогимназии (греческий, латынь, программа первых пяти классов гимназии), реальные прогимназии, высшие реальные и обычные реальные училища (Oberrealschulen, Realschulen), женские школы (Hoehere Toechterschulen), ремесленные школы (Gewerbeschulen) – прототип будущих советских ПТУ. В основе всей этой гибкой и эффективной системы образования лежала классическая гимназия с древними языками.

Но государственным деятелям уже не хватало мудрости, почерпнутой со страниц Плутарха и Тацита, – ведь появились железные дороги, электрические компании, телеграф и телефон. И перед Первой мировой Феликс Клейн возглавляет международную комиссию по реорганизации преподавания математики.

Революция Феликса Клейна

Первую попытку реформировать немецкое гимназическое образование предпринял последний универсальный гений старой Европы Александр фон Гумбольдт. Автор монументального «Космоса» хоть и получил образование преимущественно в филологическом и юридическом духе, но для гимназий составил программу, обогащенную математикой и естественнонаучными предметами. И реальные гимназии в тех или иных германских землях (сохранявшие автономию до Первой мировой) старались следовать ей с большим или меньшим успехом. Но по мнению германских чиновников от образования, эти учебные заведения все равно были «второсортными». И Феликс Клейн взялся изменить положение с преподаванием математики – введя в архаичный курс этой дисциплины новые достижения науки.

Для этого Клейн сосредоточился не на отдельных задачах, а на чем-то, что по праву можно было бы назвать духом математики. Этот дух, наряду со старым Словом, должен был войти в души учащихся, подготовив их к удивительности странного мира. Изложению этого духа были посвящены лекции, прочтенные Клейном в 1907/08 учебном году в Геттингене будущим учителям математики средних школ и позже изданные в виде книги "Elementarmathematik vom Hoeheren Standpunkt" ("Элементарная математика с точки зрения высшей" в русском переводе). Это была революция, куда сильнее изменившая мир, нежели толпы на площадях и побоища в вестибюлях дворцов.

В начале книги Клейн говорил, как следует знакомить детей с понятием числа. Для этого он привлек философские труды Канта, строки «Фауста», работы крупнейших математиков Гамильтона, Пеано, отца теории множеств Кантора. Серьезный подход к ДУХУ математики требовал безукоризненного определения самых элементарных понятий.

Затем Клейн переходил к функциям. Именно это понятие ученый закладывал в основу курса математики, будучи убежден, что оно должно быть усвоено как можно раньше, что через него следует осуществлять преподавание и алгебры, и геометрии.

Изучение функций, их возрастания и убывания, должно приводить учащихся к понятию производной. И тоже чем раньше, тем лучше. По мнению Клейна, начала математического анализа следует включить в программу средней школы. Вспомним – Клейн был учеником последнего равно крупного физика и математика, сам много работал в области приложений математики и хорошо понимал, как важны элементы анализа при изучении естественных дисциплин.

Но наряду с широким применением строгих математических понятий Клейн уделял огромное значение примерам, взятым из повседневной жизни, – для иллюстрации понятий математики и для демонстрации мощи математических приемов в решении практических задач. Дух математики должен был приходить не только из чистого разума, но и из вполне конкретных проблем, и воспарять не только к вершинам платоновских идей, но и к тем затянутым облачками небесам, в которые карабкались цепеллины и первые аэропланы. Блистательным примером тому была маленькая главка "Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций" [Феликс Клейн, "Элементарная математика с точки зрения высшей". – М., 1987], где с поразительным изяществом на основе теории функций комплексных переменных, в которую и сам Клейн внес огромный вклад, дается способ решения уравнений, вызывавших головную боль и скрежет зубовный у поколений школяров.

Разумеется, будучи проницательным человеком, Клейн не мог не обратить внимания на счетные машины. Первые, примитивные, несовершенные. Жалкие арифмометры. Но он смотрел не на железо. "Великий Феликс, Славный Клейн, Мудрец из Геттингена…" [Неизвестный автор, приведенный М. Гарднером, пер. Ю. А. Данилова] глядел на суть, на дух. И поэтому именно он впервые осознал и донес до следующих поколений учителей необходимость знакомства школьников с тогдашней вычислительной техникой.

"Остановимся еще на минутку на общем значении того факта, что действительно существуют счетные машины, которые освобождают математика от чисто механических вычислений и которые выполняют их гораздо быстрее и более безошибочно, так как машина свободна от случайных ошибок, с которыми всегда может быть сопряжено беглое вычисление. Само существование такого рода машины может служить для нас подтверждением того, что для производства вычислений существенным является не значение целых чисел, а формальные правила, по которым они совершаются, ибо машина может следовать только этим правилам – так она устроена, – но наглядного представления о значении чисел она иметь не может.

Вряд ли можно считать случайным то, что такой человек, как Лейбниц, который был в такой же мере абстрактным мыслителем первого ранга, как и человеком выдающихся практических дарований, является одновременно как отцом чисто формальной математики, так и изобретателем первой счетной машины. Его машина еще по настоящее время представляет собой одно из наиболее ценных достояний музея Кестнера в Ганновере. Хотя это исторически и не удостоверено, но я склонен допустить, что Лейбниц имел в виду изобретением счетной машины не только достигнуть практических целей, но и ярко осветить строго формальный характер математических вычислений.

Само собою разумеется, однако, что Лейбниц отнюдь не был склонен изобретением счетной машины умалить значение математической мысли, а между тем такого рода выводы иногда приходится слышать.

"Если, – говорят, – научная деятельность может осуществляться также машиной, то на эту науку, конечно, немного можно поставить, и роль ее неизбежно должна быть совершенно второстепенной". Однако на такого рода аргументацию достаточно возразить, что математик, когда он сам оперирует с числами и формулами, отнюдь не представляет собой только жалкой копии непогрешимой машины, что он ни в коем случае не является "мыслителем без мысли"… Напротив, он сам себе ставит задачи, имеющие определенную и полезную цель, и разрешает их всякий раз новыми, своеобразными приемами. Он изобрел счетную машину только для того, чтобы освободить себя от некоторых операций, постоянно повторяющихся в однообразной последовательности, и что нужно меньше всего забывать, математик ее изобрел и математик постоянно ставит ей на разрешение задачи.

Позвольте мне закончить пожеланием, чтобы со счетной машиной ввиду большого значения, которое она приобретает, познакомились более широкие круги; в настоящее время ее, к сожалению, знают еще немногие. Прежде всего с нею должен, конечно, познакомиться учитель; я не могу не высказать пожелания, чтобы каждый ученик в старшем классе средней школы имел возможность хоть раз посмотреть эту машину" [Феликс Клейн, "Элементарная математика с точки зрения высшей". Пер. Д. А. Крыжановского. – М., 1987].