А ну-ка, догадайся!

Это последний и наиболее поразительный из парадоксов, связанных с предсказанием, которые обсуждают современные философы. Придумал его физик Уильям Ньюком, в честь которого он и был назван парадоксом Ньюкома. Впервые его опубликовал и проанализировал философ из Гарвардского университета Роберт Нозик. Работа Нозика опиралась на такие разделы современной математики, как «теория игр» и «теория решений».

Решение мужчины выбрать ящик В понять нетрудно. Рассуждения женщины станут понятнее, если мы вспомним, что Омега вышел из комнаты и, следовательно, не может изменить содержимое ящика В.

Если ящик В пуст, то так и останется пустым. Если в нем чек на миллион долларов, то этот чек никуда не исчезнет. Рассмотрим оба случая.

Если в ящике В находится чек на миллион долларов и женщина выбирает только ящик В, то она получает миллион долларов. Но если она выбирает оба ящика, то получает миллион плюс тысячу долларов.

Если ящик В пуст и женщина выбирает только ящик В, то она не получает ничего. Если же она выбирает оба ящика, то получает 1000 долларов.

Следовательно, в любом случае женщина, выбрав оба ящика, станет богаче по крайней мере на 1000 долларов.

Парадокс Ньюкома служит своего рода лакмусовой бумажкой для проверки, верит или не верит человек в свободу воли. Воможные реакции на парадокс подразделяются (почти поровну) на два типа: те, кто верит в свободу воли, выбирают два ящика; сторонники детерминизма предпочитают выбирать только ящик В. Имеются и такие, кто считает парадокс Ньюкома противоречивым независимо от того, полностью или не полностью предопределено будущее.

Подробный обзор различных, нередко противоположных, взглядов на парадокс Ньюкома приведен в разделе «Математические игры» журнала Scientific American мной (июль 1973) и профессором Нозиком (март 1974).

2. ЧИСЛА

Парадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице

Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:

1) иррациональных чисел 2^½, π, е и бесчисленного множества других;

2) мнимых чисел (числа (-1)^½ и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;

3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: a х Ь не равно Ь х а;

4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения а х (Ь х с) не равно (а х Ь) х с;

5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, «алефы», введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, «открыл перед математиками новый рай»).

Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, «Вездесущая девятка» подводит нас к конечным арифметикам, а «Необычное завещание» — к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай — область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.

_{Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке. В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету.}

Не сомневаюсь, что вы без труда обнаружите логическую ошибку в приведенном мною варианте старого парадокса о ловком хозяине гостиницы, сумевшем разместить десять гостей в девяти номерах так, что каждому из них досталось по отдельной комнате (см. мою статью «Математические софизмы» [6]).

Парадокс разрешается, если понять, что партнерша, которую владелица дискотеки попросила первого гостя подержать на коленях, в действительности гость номер 2 (а не 7). Седьмому гостю не нашлось места за столом, а второй гость или, точнее, гостья, сойдя с колен своего партнера, пересела на шестое место.

На первый взгляд, кажется, будто этот парадокс нарушает теорему о том, что конечное множество из n элементов может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие только с конечными множествами из n элементов. Мы еще вернемся к этой теореме в парадоксе "Отель «Бесконечность»". «Загадка шести стульев» — занимательный пример различия между конечными и бесконечными множествами.

_{Деннис продал одну из своих картин Джорджу за 100 долларов.}

_{Джордж повесил было картину у себя дома, но потом она перестала ему нравиться, и он продал ее Деннису за 80 долларов.}

_{Через неделю Деннис продал картину Джерри за 90 долларов Деннис. Ты совершил удачную покупку, Джерри. Лет через десять эта картина будет стоить в 50 раз дороже, чем ты заплатил за нее!}