А ну-ка, догадайся!

3. Философ Макс Блэк сформулировал парадокс Берри примерно так. В этой книге упоминаются различные целые числа. Сосредоточим наше внимание на наименьшем целом числе, которое ни прямо, ни косвенно не упоминается в этой книге. Существует ли такое число?

_{Одни люди интересные, другие скучные.}

_{Мы составили два списка. В один внесли всех скучных людей, в другой — всех интересных людей.}

_{Где-то в списке скучных людей числится самый скучный человек в мире.}

_{Но именно этим он и интересен, поэтому мы должны вычеркнуть его из списка скучных людей и занести в список интересных людей.}

Этот забавный парадокс представляет собой вариант «доказательства» того, что каждое положительное целое число чем-то интересно. Впервые оно было опубликовано Эрвином Ф. Бекенбахом в заметке «Интересные целые числа» в апрельском номере журнала American Mathematical Monthly за 1945 г.

Верно ли такое «доказательство» и не таит ли оно в себе логической ошибки? Не перейдет ли снова в разряд скучных человек, чье имя было первым включено в список интересных людей и вычеркнуто из списка скучных людей после того, как список интересных людей пополнится вторым среди самых скучных людей? Можно ли придать какой-то смысл утверждению о том, что каждый человек интересен, поскольку он является самым скучным из людей, образующих определенные множества, подобно тому как каждое целое число является наименьшим числом в определенных множествах чисел? Если все люди (или числа) интересны, то не утрачивает ли от этого смысл прилагательное «интересный»?

_{Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, — теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны.}

Соответствие между семантическими и теоретико-множественными парадоксами проистекает из того, что любое истинное или ложное утверждение можно представить в виде некоего утверждения о множествах и наоборот. Например, утверждение «Все яблоки красные» означает, что множество всех яблок содержится в множестве всех красных предметов. На языке высказываний, относительно которых можно утверждать, что они истинны или ложны, это переводится так: «Если верно, что х — яблоко, то верно, что х красного цвета».

Рассмотрим утверждение парадокса лжеца «Это утверждение ложно». В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: «Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений».

Если «это» утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений.

Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений.

У каждого семантического парадокса существует теоретико-множественный аналог, а у каждого теоретико-множественного парадокса существует семантический аналог.

_{Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием — так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например «Яблоки красные» или «Яблоки синие», делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.}

_{В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.}

_{А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).}

Понятие «метаязык» было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например «У Марса две луны». Такие слова, как «истина» и «ложь», не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей степени, мы должны воспользоваться метаязыком — следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык «богаче» объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: «Снег белый» — утверждение из объектного языка, «Утверждение «Снег белый» истинно» — утверждение из метаязыка.

Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.

Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.

Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.

A. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

B. Утверждение А истинно.

C. Утверждение В истинно.

D. Утверждение С истинно.

Язык на уровне А позволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.