Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.

Лагранжу и Лапласу удалось избежать заблуждения Ньютона, которое позднее соблазнит и Эйлера, что божественное провидение должно регулярно проявлять себя, восстанавливая порядок во Вселенной. Лагранж начал исследования, анализируя удаленность планет от центра Солнечной системы и доказывая, что ни одна из них не может покинуть ее пределы. Лаплас проанализировал другие факторы и отклонения и пришел к выводу, что планеты также не могут покинуть плоскость, в которой вращаются. К тому же, как мы уже увидели в главе 2, в математических выражениях вековых неравенств, которые проявляли Юпитер, Сатурн и Луна, члены ряда не могут расти до бесконечности и дестабилизировать в долгосрочной перспективе их орбиты. Сатурн никогда не покинет Солнечную систему, а Луна не упадет на Землю. Главный труд Лапласа венчает труды Ньютона в области механики и объясняет, что орбитальные аномалии, так заботившие британца, являются лишь возмущениями, которые зависят от закона тяготения и имеют тенденцию с течением времени компенсироваться.

Лаплас объяснял устойчивость системы мира, не ссылаясь на Бога, а исключительно опираясь на вращение планет по круговым орбитам в одном направлении и одной плоскости. В главе 2 книги IV «Изложения системы мира» можно прочитать:

«Мне удалось доказать, что каковы бы ни были массы планет, только из-за того, что все они движутся в одном направлении и по малоэксцентричным орбитам с малым наклоном по отношению друг к другу, их вековые неравенства должны быть периодическими и заключенными в узкие пределы, так что планетная система только колеблется около среднего состояния, от которого она отклоняется лишь на очень малую величину».

Однако оставался еще один вопрос: почему все планеты двигаются в одном направлении, а их эллиптические орбиты лежат практически в одной плоскости? Как мы видим, Ньютон отнес это на волю Создателя. В последующих изданиях «Начал» он так объяснял это странное явление:

«Все эти правильные движения не имеют своим началом механических причин, ибо кометы носятся во всех областях неба по весьма эксцентрическим орбитам. <...> Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа».

В своей «Оптике» Ньютон повторил эту идею еще яснее, будучи убежденным в том, что положение планет гарантирует их устойчивость: «Слепая судьба никогда не могла бы заставить планеты двигаться по одному и тому же направлению».

Лаплас — с его космологической гипотезой первичной туманности — смог объяснить происхождение Солнечной системы, ее конфигурацию, слаженное движение, не ссылаясь на Бога. Происхождение и устойчивость Солнечной системы — две астрономические загадки, побудившие Ньютона апеллировать к идее божественного вмешательства, — были наконец решены. После долгих лет верной службы Создатель мог отправляться на покой: гармонию Вселенной можно было гарантировать и без него.

ГЛАВА 5

Вероятность и детерминизм

Ни один математик до Лапласа не стремился приручить азарт. Ученый собрал материалы, обобщил идеи предшественников и предложил точное определение концепции вероятностей. Он соединил расчет вероятностей с анализом и разработал современную теорию вероятностей. Накопленные статистические данные позволили ему применить новую теорию в совершенно новых сферах — демографической, социальной, правовой и, конечно, астрономической.

В течение всего XVII века математики интересовались расчетами применительно к азартным играм, но только в конце XVIII века, с развитием теории вероятностей, а также теоретической и математической статистики, эта работа начала приносить свои плоды. Математическая дисциплина, которая вначале занималась анализом карт, игральных костей и избирательных бюллетеней, со временем стала одной из главных областей человеческого знания.

Уже в середине XVI века математик эпохи Возрождения Джероламо Кардано (1501-1576) написал «Книгу азартных игр». Кардано был очень азартным человеком и астрологом (он даже предсказал собственную смерть), использовал термин «вероятность», происходящий от латинского слова probare («доказать», или «утверждать»), для количественной оценки степени достоверности события и возможности выиграть. Расчет вероятностей родился как таковой в 1654 году, когда началась переписка Блеза Паскаля (1623-1162) и Пьера Ферма (1601-1665). Игрок Антуан Гомбо (1607-1684), известный как шевалье де Мере, призвал французских математиков решить задачу: если два человека, сыграв три партии, вынужденно прервали игру (вероятно, по причине прихода полиции, поскольку азартные игры были запрещены), как они должны разделить выигрыш, если один выиграл два раза, а второй — один? Как видите, расчет вероятностей тесно связан с наукой азарта.

Первооткрыватели расчета в азартных играх используют впоследствии свои рассуждения и в других областях знаний. В 1657 году Христиан Гюйгенс (1629-1695) опубликовал произведение «О расчетах в азартных играх», в котором применяются алгебраические методы для расчета ставок и введено понятие ожидания, или вероятного выигрыша. Кроме этого, в сотрудничестве со своим братом Гюйгенс предложил концепцию «ожидаемой продолжительности жизни». Исходя из таблиц смертности Лондона, опубликованных Джоном Грантом, отцом политической арифметики, братья Хагене и Эдмунд Галлеи рассчитали вероятности выживания, рассматривая жизнь и смерть как орел и решку. Ученые предположили, что 36 % жителей Лондона живут в среднем три года. Это означало, что родители каждого новорожденного тянут жребий, который в 36 случаях из 100 гласит: «ваш ребенок проживет только три года». Это мрачноватое интеллектуальное упражнение очень хорошо проводило аналогию между азартными играми и статистическими данными.

Труд Якоба Бернулли Ars conjectandi {«Искусство догадок») ознаменовал второй этап в истории теории вероятностей. В этом неоконченном трактате, опубликованном в 1713 году, уже после смерти автора, математик обратился к комбинаторным рассуждениям для вычисления вероятности какого-либо события. Он впервые представил проблему обращенной вероятности и пояснил, что теоретические количества случаев часто неизвестны, при этом то, что не дано вывести априорно (посредством исключительно логических рассуждений), можно получить апостериорно, то есть на основании многократного наблюдения. Якоб Бернулли стал автором одноименной формулы: относительная частота события стремится к заданному числу (вероятность события) при увеличении количества повторов.

Формула Якоба Бернулли позволяла эмпирическим путем рассчитать неизвестные вероятности и определить объективную вероятность события. И действительно, если частота события с увеличением количества наблюдений стремится к вероятностным значениям, почему не определить вероятность, исходя из частоты? Благодаря индукции можно определить вероятность как предел частоты, а не просто вычислить ее логическим или субъективным способом (как степень ожидания).

Французский математик Абрахам де Муавр (1667- 1754) — ревностный кальвинист, который был вынужден эмигрировать в Великобританию, чтобы избежать религиозных преследований, — в 1718 году опубликовал свой трактат «Доктрина азарта». В нем де Муавр подчеркивал, что статистическая закономерность, подтверждаемая формулой Бернулли, невозможна без помощи Бога. Вероятно, из его работ, как мы увидим это позже, Лаплас унаследовал отношение к божественному провидению, которому он нашел место даже в основах теории вероятностей.

Возьмем событие А, вероятность наступления которого равна р. Мы повторяем эксперимент п раз, чтобы определить частоту наступления А. Если событие А имеет место т раз, то, вычислив т/п, мы определим частоту его наступления, то есть количество раз, когда событие произошло по отношению к общему количеству попыток. В абсолютном выражении разница между вероятностью р и относительной частотой т/п определяет ошибку, которую мы могли бы совершить, если бы использовали относительную частоту в качестве приближенного значения вероятности. Бернулли доказал, что если мы повторим опыт достаточное количество раз, эта разница будет меняться: она стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. В математических терминах это выражается так, как показано ниже: если е — это положительное значение, сколь угодно малое, тогда: