Волшебный двурог

— С параллельными, — отвечал Радикс, — не так-то просто. Давай сравним, как ведут себя два перпендикуляра к одной и той же секущей на выпуклой, плоской и седлообразной поверхности. На плоскости они идут на одном расстоянии друг

— 277 —

На выпуклой поверхности два перпендикуляра сходятся.

На плоскости два перпендикуляра не сходятся и не расходятся.

от друга, то есть не сходятся и не расходятся. Но на выпуклой поверхности, как, например, на Земле, они будут вести себя так, как два меридиана, перпендикулярных к экватору, то есть будут приближаться друг к другу по обе стороны секущей и пересекутся на полюсах. На седлообразной поверхности наоборот: два перпендикуляра к одной и той же секущей будут расходиться по обе стороны, удаляясь друг от друга. Поэтому можно уменьшить углы их наклона к секущей, и полученные наклонные все еще не будут пересекаться. Если продолжать уменьшать угол наклона, то в конце концов мы дойдем до такого крайнего положения, при котором дальнейшее уменьшение угла наклона вызовет появление точки пересечения. В этом крайнем положении две прямые и называются, по Лобачевскому, параллельными друг другу «в ту сторону», в какую они образуют острые углы с секущей. Наши прямые «в сторону параллельности» еще не пересекаются и уже не расходятся, а сходятся друг с другом, так сказать, «в бесконечности», как обычные параллельные. На полупсевдосфере можно это очень хорошо представить себе, если взять два уходящих в бесконечность меридиана этой поверхности. Ты, может быть, возразишь, что это два перпендикуляра к параллели полусферы, но не забудь, что параллель (то есть сечение псевдосферы плоскостью, перпендикулярной к оси) не будет линией кратчайшего расстояния (геодезической) на этой поверхности и потому не может нами рассматриваться как «прямая».

На седлообразной поверхности два перпендикуляра расходятся.

— 278 —

— Я понимаю, — сказал Илюша. — Если я представлю себе, что полупсевдосфера лежит передо мной узкой частью вправо, то концы натягиваемой поперек поверхности нити придется оттягивать влево, иначе нить будет соскальзывать вправо.

На полупсевдосфере два «параллельных» мередиана образуют острые углы с секущей геодезической.

— Поэтому, — продолжал Радикс, — два меридиана будут образовывать с пересекающей их геодезической острые углы (с параллелью они образуют прямые), как видно на чертеже. Несмотря на это, они не будут справа пересекаться, как бы далеко ты их ни продолжал на полупсевдосфере. Но отклони один из них чуть-чуть внутрь, по направлению к другому, и наверху появится точка пересечения. Это и означает, что два меридиана, по Лобачевскому, параллельны «в правую сторону» (нашей полупсевдосферы).

— А как же будут вести себя перпендикуляры к этой поперечной геодезической? Куда они денутся на псевдосфере? — спросил Илюша.

— Видишь ли, — ответил Радикс, — на небольшом участке псевдосферы хорошо видно, что два перпендикуляра расходятся, но дальше они начнут даже огибать поверхность снизу и где-то с нижней стороны пересекутся. Но не оттого, что они сходятся, а, наоборот, оттого, что они расходятся. Вообще надо иметь в виду, что только геометрия «куска» поверхности псевдосферы отвечает геометрии соответственного «куска» подлинной «плоскости Лобачевского»; вдобавок еще мешает «ребро» псевдосферы с нижней стороны. «Плоскость» же Лобачевского, как и наша обычная, простирается неограниченно во все стороны, и все направления на ней равноправны. Поэтому на плоскости Лобачевского получается такая картина.

Если взять секущую MN и в точке N провести к ней перпендикуляр АВ, а в точке М наклонять второй перпендикуляр, уменьшая его угол с секущей со стороны точки В, то наклонная, проходящая через точку М, начнет пересекать прямую АВ, только когда угол наклона станет меньше некоторого острого угла φ. Этот острый угол (он тем ближе к прямому, чем меньше расстояние MN) Лобачевский назвал углом параллельности, а наклонную в том крайнем положении, когда она еще не пересекается с перпендикуляром АВ, он назвал проходящей через точку М параллельной к АВ в сторону В. С другой стороны секущей получается та же самая картина. Крайнее положение наклонной, при котором точки пересечения еще нет, и будет второй «параллельной»

— 279 —

Лобачевского — параллельной в «другую сторону». Поэтому на нашем чертеже все прямые Лобачевского, проходящие через точку М, разделяются двумя параллельными — «в сторону A» и «в сторону В» — на две категории. Одни, образующие с перпендикуляром NM угол, меньший «угла параллельности» φ, пересекают прямую АВ. Другие, образующие с перпендикуляром прямой или хотя и острый, но больший угла параллельности угол, проходят между двумя «параллельными» и не пересекают прямой АВ ни с той, ни с другой стороны. Они называются расходящимися с прямой АВ. Параллельные, конечно, тоже не пересекаются с АВ, но они выделяются из числа всех не пересекающихся с АВ прямых, проходящих через точку М, как раз тем, что положение параллельности — крайнее, при котором нет точки пересечения: две параллельные отделяют, таким образом, все пересекающие прямые от расходящихся. В отличие от геометрии Евклида, сумма внутренних односторонних углов, образованных параллельной в данную сторону с секущей, меньше двух прямых, так как угол параллельности φ острый. Величина этого угла зависит от расстояния MN. Еще греки, по всей вероятности, догадывались о таких возможностях.

— Значит, — решил Илюша, — это гораздо хитрее того, что мы учим в школе о параллельных?

— Ну еще бы! — отвечал Радикс. — Если бы это было то же самое, так ведь тогда и говорить было бы не о чем.

— Какая же она, однако, удивительная, эта геометрия! — задумчиво произнес Илюша.

— Если хочешь знать, — отозвался Радикс, — сферическая геометрия еще удивительнее «воображаемой», только мы

— 280 —

к ней более привыкли благодаря тому, что глобус стал нам приятелем со школьной скамьи, если не раньше. А если подумать, то нетрудно убедиться в этом. Сравни хотя бы такие обстоятельства. Прямая у Евклида безгранична, у Лобачевского тоже, а на сфере она (например меридиан) не только не безгранична, но еще и замкнута.

— Да! — отвечал Илюша. — А ведь действительно так!

— Насчет же всяких неожиданностей в «воображаемой» геометрии, так я могу тебе подарить на память еще один такой случай. Если ты возьмешь на плоскости Лобачевского окружность, разделишь ее на несколько равных частей и в точках деления проведешь касательные к этой окружности, то они образуют многоугольник только в том случае, если радиус окружности очень невелик, а в противном случае они вовсе не встретятся и не пересекутся.

— Мы можем, — добавил Асимптотос, — показать тебе еще кое-что по поводу треугольников Лобачевского, но только это будет потруднее. И нам кое в чем придется с тобой условиться.

— Как это условиться? — спросил Илюша.

— Вот как. Мы знаем, что роль «прямых» на сфере играют дуги больших кругов. А теперь мы условимся считать «прямыми» на сфере не дуги больших кругов, а дуги некоторых других кругов. Мы начнем с того, что рассечем сферу пополам. Положим полусферу на плоскость сечением вниз. А далее согласимся считать дуги кругов, плоскость которых перпендикулярна к той плоскости, на которой лежит наша полусфера, прямыми. Надеюсь, что ты понял меня?