Волшебный двурог

Трехосный эллипсоид.

— Как хорошо, — сказал Илюша, — что все эти ваши математические чудеса так легко встретить! Подумаешь, какое чудо обмылочек, а оказывается, он родственник самим коническим сечениям! (А про себя подумал: «Вот, значит, почему этот козлоногий человечек с флейтами говорил о морских камушках!») Постойте-ка, — продолжал он, — вы мне обещали показать, как делается псевдосфера.

— Совсем из головы вон! — сокрушенно сказал Асимптотос. — А ведь и вправду обещали! Поди-ка, Коникос, поищи-ка, где у нас там трактриса завалилась.

Не прошло и минуты, как Коникос вернулся весьма смущенный и раздосадованный.

— Пропала, скажи на милость! Истинное наказание!

— Ничего, — успокоил Асимптотос. — Подумаешь, какое горе! Возьмем да и новую сделаем.

Коникос принес довольно большую цепь с тяжелыми звеньями, вроде корабельной, и повесил ее за два конца на стену.

Цепь угрюмо повисла, образуя почти дугу, открытую сверху.

— 273 —

— Похоже на параболу, — шепнул Илюша Радиксу.

— Неверно. Впрочем, подобную ошибку в свое время сделал даже сам Галилей, так что тебе и подавно простительно.

Однако все же ты должен запомнить, что это вовсе не парабола, а так называемая цепная линия. Она только на маленьком участке у вершины очень похожа на параболу.

— К этой цепи у нас, — сказал Асимптотос, — прилажена особая ниточка, гибкая, нерастяжимая. Сейчас я ее отделю от цепи. Это особый способ чертить кривые — при помощи такой ниточки. Ты умеешь чертить по линейке, умеешь чертить циркулем, а это еще один способ чертить. Смотри внимательно! Я отщипну эту ниточку в самой точке вершины цепи, то есть цепной линии, и буду, крепко все время натягивать нить, следить за тем, какую кривую опишет конец нити в той плоскости, в которой находится кривая. Так вот эту кривую, которую опишет конец нити, мы называем эвольвентой данной исходной, начальной кривой. А кривая, с которой надо сматывать нить, чтобы получить некую требуемую кривую, называется эволютой этой последней.

При этих словах Асимптотос отщипнул что-то от цепи в самой нижней ее точке. В руках его оказалась тонкая блестящая нить, которую наш ученый старичок начал как бы сматывать с цепи, все время крепко натягивая нить вниз и направо. И конец

— 274 —

нити послушно начертил новую своеобразную кривую, совершенно непохожую на ценную линию.

— Ну вот тебе и трактриса! — радостно воскликнул Коникос. — Сам Лейбниц дал ей это имя.

— Так что трактриса есть эвольвента цепной линии? — спросил Илюша.

— Точно! — отвечал Коникос. — Оказывается, ты кое-что соображаешь!

— Но если, — снова начал Илюша, — это особый способ чертить кривые, то должен ведь быть какой-нибудь общий прием, чтобы начертить так любую кривую?

— Это не так уж сложно, — вмешался Асимптотос. — Ты вот посмотри на перпендикуляры к касательным, которые именуются нормалями данной кривой.

— Радиус окружности и есть ее нормаль? — спросил Илюша.

— Справедливо! — отвечал Асимптотос. — Посмотри и заметишь, что касательные эволюты суть не что иное, как нормали эвольвенты. Поэтому, если тебе задана эвольвента, то построй к ней побольше нормалей: все они будут касательными к эволюте, которую эти касательные очень ясно обозначат на чертеже. Это будет кривая, плавно огибающая все эти прямые, касаясь их.

— Эволют у нас девать некуда, — заметил Коникос, — целая кладовая. Но можно еще и по-другому все это проделать.

Возьми отрезок прямой, приложи его в одной точке к шаблону эволюты и кати его по кривой, только чтобы он не скользил.

Вот ты и получишь эвольвенту безо всякой нити, потому что какая-нибудь заранее отмеченная точка на катящемся отрезке вычертит эвольвенту.

Радикс сейчас же объяснил Илюше, что он на досуге и сам все это может проделать. Надо взять тонкую и нежесткую нитку примерно в сорок сантиметров длиной, намочить ее и мокрую повесить на стену на два гвоздика, которые вбиваются на расстоянии около пятнадцати сантиметров друг от друга.

А на то место, куда мы повесим нить, надо заранее прикрепить кнопками лист белой бумаги. Затем следует аккуратно начертить кривую, которую образует мокрая нитка, — это и будет приблизительно цепная линия. По этому чертежу надо изготовить картонный или фанерный шаблончик. В верхнем его углу следует закрепить нитку, обвести се по краю шаблона, а у вершины сделать петельку. Если теперь взять карандаш (сделав предварительно маленькую зарубку на графите) и вставить в эту петельку, то карандаш — если осторожно сматывать нитку — вычертит трактрису.

Коникос взял кривую и приладил ее, кряхтя и ворча,

— 275 —

к диаграмме с картезианскими осями, повернув ее на девяносто градусов.

— Трактриса, — сказал он, передохнув после своей нелегкой работы, — это кривая весьма древнего происхождения. Одно из замечательных свойств ее заключается в том, что если к ней провести касательную в любой точке, то расстояние по касательной от точки касания до некоторой прямой будет постоянным (удаляясь от своей вершины, трактриса неограниченно приближается к этой прямой, и на нашем чертеже эта прямая будет перпендикулярна к оси цепной линии). Если поместить конец нити на расстоянии а от горизонтальной прямой, а потом другой ее конец тянуть вдоль этой прямой, то первый конец и опишет трактрису. Отсюда и название ее (от латинского слова «тянуть»). Если же теперь мы прикрепим трактрису по ее горизонтальной оси к Центрифуге, то мы и получим искомую поверхность вращения, то есть именно псевдосферу.

Псевдосфера

И действительно, как только прикрепили трактрису к Центрифуге и пустили последнюю в ход, получилась псевдосфера, каковую Асимптотос спокойно снял со станка и разрезал пополам, затем добыл откуда-то резиновую нитку и влез внутрь того вогнутого конуса, похожего на опрокинутый бокал, который представляла собой полупсевдосфера. Поверхность была довольно прозрачная, и Асимптотоса было отлично видно. Намазав резиновую нитку сажей, он натянул ее на поверхность полупсевдосферы и, щелкнув ниткой, получил одно ребро треугольника снизу вверх, направо от основания к вершине —

— 276 —

ровную темную черту. Затем он так же обозначил другое ребро треугольника сверху, от вершины вниз направо, подмигнул Илюше и сказал:

— Так как я имею дело с поверхностью отрицательной кривизны, то, для того чтобы провести основание треугольника, я должен, очевидно, выбраться из-под псевдосферы снова наружу.

Илюша внимательно поглядел на псевдосферу и сообразил, что если натянуть резиновую нитку горизонтально, стоя внутри седлообразной псевдосферы, то нить окажется в воздухе, а не будет вся целиком лежать на поверхности, как полагается лежать геодезической линии.

Асимптотос выбрался наружу и, лихо щелкнув начерненной ниткой, провел основание треугольника.

— Ну, Илюша, — сказал Коникос, — если ты внимательно посмотришь на этот треугольник, ты и сам заметишь, что углы его много меньше, чем им полагалось быть, если бы это был плоскостной треугольник.

Коникос вырезал псевдосферический седлообразный треугольник и положил на стол, а потом прикрепил три крепко натянутые нитки к его вершинам. Рассматривая углы, которые были образованы нитками, и собственные не-евклидовы углы треугольника, Илюша мог убедиться, что последние меньше, нежели плоскостные.

— Ясно? — спросил Радикс.

— Как будто ясно, — отвечал мальчик. — Ну, а как получается с параллельными? Я все-таки никак не пойму, как через одну точку провести две параллельные к третьей прямой?