Путешествие по Карликании и Аль-Джебре

— Таня, вся надежда на тебя! — шепнул Сева. Ему давно уже не терпелось поближе познакомиться с яблоками.

Очень скоро сад был буквально засыпан спелыми плодами.

— Молодец, Таня! — в восторге закричал Сева. — Я знал, что ты решишь задачу!

Малыши дружно захлопали в ладоши и бросились подбирать яблоки.

Но Таня стояла смущённая, щёки её пылали.

— Это не я решила задачу! — с трудом выговорила она и, закрыв лицо руками, отвернулась.

— Вот те раз! Кто же это? — заволновались малыши.

— Во всяком случае, не я! — буркнул Сева.

Тогда все посмотрели на Олега. Он, как обычно, молчал. А рядом с ним на песке все увидели три числа. Это был ответ на задачу.

— Совершенно правильно! — сказала Четвёрка, взглянув на числа, и сейчас же стёрла их ногой.

— Зачем, зачем вы это сделали? — запищали малыши.

— Пусть тот, кто не решил этой задачи, обязательно решит её сам.

А мне пора на площадь Добрых Напутствий. Если хотите увидеть интересное зрелище, — любезно обратилась она к нам, — я с удовольствием вас провожу.

Мы охотно согласились и последовали за нашей новой знакомой.

Таинственные знаки

Город кишел народом. Со всеми своими улицами и многочисленными переулками он был похож на большой, но хорошо изученный лабиринт.

В этом легко было убедиться, видя, как безошибочно и быстро находили жители Арабеллы дорогу к широкому проспекту Действующих Знаков.

Отовсюду стекались сюда оживлённые карликане. Были среди них дети и старики, торопливые и медлительные, болтуны и молчальники, смешливые и задумчивые. Но, несмотря на большую толпу, никто никого не толкал, никто никому не наступал на ноги.

Многие дружелюбно кивали нам в знак приветствия, а иногда и пожимали руки — словом, вели себя как добрые знакомые.

По обе стороны проспекта тянулись длинные здания со множеством вертящихся дверей. Карликане то и дело ныряли в них и тотчас же возвращались с небольшими чемоданчиками, в которых что-то мелодично позвякивало.

На каждом шагу попадались вывески с крупной надписью:

Под этой надписью была другая, поменьше:

— Что это за крестики такие? — вслух недоумевал Сева. — И почему это их надо экономить?

Но вот из одной вертящейся двери выпорхнула школьница с тремя смешными косичками. Это была маленькая Тройка.

— Троечка, что это у вас в чемодане? — спросил у неё Сева.

— Здравствуйте! — ответила воспитанная Тройка.

— Ах да, я совершенно забыл, — спохватился Сева. — Конечно, здравствуйте! Не скажете ли вы, что это звенит у вас в чемодане?

— Действующие знаки. — Тройка указала на вывеску: — Тут же всё написано. Разве вы не умеете читать?

— Умею, но не понимаю, что это за знаки и как они действуют?

— Ах нет, нет. Они не могут сами действовать. Они только помогают другим производить различные действия.

— Театральные действия? — сострил Сева.

— Скажете тоже! — Тройка энергично замотала косичками. — Не театральные, а арифметические!

— Понимаю: сложение, вычитание, умножение и деление.

— И многие другие.

— Какие же другие? — удивилась Таня. — Кроме этих четырёх, других действий не бывает.

— Что вы! — воскликнула Тройка. — Кроме арифметических, могут быть и совсем другие действия — например, алгебраические.

— Не знаю таких, — пожала плечами Таня. — Никогда даже не слышала.

— Неужели?! — Тройка изумлённо всплеснула руками.

Трах! Это упал на землю чемоданчик, и всё его содержимое высыпалось наружу. Мы поспешно бросились подбирать.

Чего там только не было! И точки, и запятые, чёрточки маленькие, чёрточки большие, крестики, скобки круглые, скобки квадратные, скобки фигурные и ещё много-много совсем непонятных знаков.

— Ой, какая я неловкая! — огорчилась Тройка. — Пожалуйста, осторожнее. Это очень важные знаки. Вот эта маленькая чёрточка, например. Если забыть поставить её между двумя числами, то никто и не догадается, что из одного числа нужно вычесть другое.

— Это минус! — выпалил Сева.

— Разумеется! — обрадовалась Тройка. — А вот если я две такие чёрточки помещу одну над другой, это уже будет не два минуса, а…

— …знак равенства, — не удержался Сева.

— Так вы же всё знаете! Я думаю, дальше вам и объяснять не нужно. Вот, например, этот крестик…

— Это плюс, — сказал Сева. — Он нужен для сложения. А вот почему у вас висит объявление «Экономьте расход крестиков!»? Неужели для того, чтобы поменьше складывали?

— Ой, что вы! — засмеялась Тройка. — Складывайте на здоровье, сколько душе угодно! Дело в том, что крестик употребляется не только как знак сложения, но и как знак умножения. Стоит только поставить его на обе ножки — вот так: × — Поэтому крестиков у нас не хватает, и мы решили заменить их точками.

— Но такую точку легко спутать со знаком препинания!

— Нет, нет! — Тройка замахала руками. — Это же очень просто: наша точка ставится чуточку выше, чем знак препинания.

— А это что такое? — спросил Сева, вытащив из чемоданчика забавную фигурку. — Сачок для ловли бабочек?

— Какой вы смешной! — прыснула Тройка. — Это тоже знак. Он применяется при извлечении корней из чисел. И зовут его радикал.

— Выходит, у чисел есть корни, такие же, как у деревьев? — обрадовался Сева.

— Какой ужас! — воскликнула Тройка. — Вы всё понимаете буквально.

— Но что же это всё-таки за корни?

— Позвольте мне на ваш вопрос ответить вопросом: сколько будет трижды три?

— Разумеется, девять!

— Великолепно! Сами того не замечая, вы произвели важное и прекрасное действие: возвели тройку в степень!

— Нет, — возразил Сева, — я просто умножил тройку саму на себя.

— Вот именно. Но это же и есть возведение в степень. И притом — во вторую степень.

— А разве можно ещё и в третью? — спросила Таня.

— Конечно. Для этого надо девять ещё раз умножить на три.

— Значит, три, помноженное на три и ещё раз на три, — это и есть третья степень трёх? — сказала Таня.

— Совершенно верно. Поэтому третья степень трёх равна…

— …двадцати семи, — закончила Таня.

— Но ведь так можно поступать без конца! — сказал Сева.

— Как вы это правильно заметили! — восхитилась Тройка. — Именно без конца! И тогда будут получаться четвёртая, пятая, шестая степени…

— Любопытно.

— Но вернёмся к началу нашего вопроса, — продолжала Тройка. — Вы спросили, что такое радикал? Начнём от печки. Трижды три — девять. А теперь я задам вам тот же вопрос с конца: какое число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить девять?

— Три, — сразу ответил Сева.

— Видите, по девятке мы узнали, какое число было возведено во вторую степень. И число это оказалось тройкой.

— Вот это действие и называется извлечением корня? — спросила Таня.

— Ну да! — обрадовалась Тройка. — И обозначается оно радикалом.

— А ты думал, им ловят бабочек, — съехидничала Таня.

Сева торжественно поднял руку:

— Клянусь, теперь я всегда буду помнить, чему равен корень из девяти.

— И всё-таки, — продолжала Тройка, — не следует думать, что корень из девяти всегда равен трём! Всё зависит от того, какой корень вы извлекаете.

— Как, — опешил Сева, — разве корни бывают разные?

— Совершенно разные! Есть корни и третьей, и четвёртой степени. Об этом вы узнаете в своё время. А теперь простите меня. Я боюсь опоздать на площадь Добрых Напутствий.

Тройка схватила чемоданчик и убежала.

И тут только мы заметили, что Четвёрка с бантиком куда-то исчезла. Посоветовавшись, мы решили продолжать путь одни. Это было нетрудно: все жители города двигались сейчас в одном направлении.