Игры с Чипом

— Ну, как я и думал, ничего непонятно, сплошные загадки, — уныло сказал Сережа.

— На то и загадки, чтобы их отгадывать. Ну, подумай сам, тут говорится про какое-то большое, меньшее и про Н.О.Д. Ты, конечно, догадался, Н.О.Д. — это и есть наибольший общий делитель двух чисел, который мы ищем.

— Ну, наверное, большое — это большее из этих двух чисел, а меньшее это меньшее. — Сережа несколько оживился. — Но потом непонятно: эти три числа меняются местами, делятся друг на друга, я не могу разобраться, что происходит?

— А знаешь, что должен делать программист, столкнувшись с алгоритмом, в котором он не может разобраться?

— Знаю, отложить его в сторону и пойти поиграть в футбол!

— Я сказал «программист, а не футболист»! Для программиста нет большего удовольствия, чем заставить программу работать. Программист отлаживает программу, то есть проверяет, как она работает, на известных ему примерах. Ну, скажем, ты знаешь, чему равен Н.О.Д. 12 и 30?

— Шести, — ответил Сережа, немного подумав, — 12 — это 2 х 6, а 30 — это 5 x 6.

— Итак, начинаем применять алгоритм Евклида. Малое — это 12, оно больше нуля, значит, повторяем: Н.О.Д. - 12, затем делим 30 на 12, получаем 2 и в остатке 6, значит, объявляем малым 6. Большим объявляем Н.О.Д., то есть 12, и возвращаемся к началу. Малое — это 6, оно больше 0, значит, повторяем снова: Н.О.Д. = 6, делим большое, то есть 12, на малое, то есть на 6, получаем ровно 2. Объявляем малым остаток, то есть малое теперь равно нулю. А большим объявляем Н.О.Д., то есть 6, и возвращаемся к началу. Но теперь малое равно нулю, а значит, повторять ничего не надо, мы уже нашли Н.О.Д. — это 6.

— Что-то не слишком быстро ты нашел ответ, — ехидно заметил Сережа, — я и то меньше думал.

— Долго было объяснять каждое действие, — сердито возразил Чип, — а потом любой алгоритм полезен только в достаточно сложных случаях. Вот посмотрим, как ты найдешь Н.О.Д. 256 и 288 без алгоритма Евклида, и потом сравним, насколько быстрее ты найдешь его с помощью алгоритма.

ОТ РЕДАКЦИИ:

Ребята, а вы не хотите помочь Сереже и тоже выполнить задание Чипа? Решите с помощью алгоритма Евклида пример:

и найдите Н.О.Д. 256 и 288. Ответы пришлите нам.

В № 10 за прошлый год Чип попросил вас составить программу «Приключений в джунглях». Ни одной правильной программы мы не получили. А из всех программ, что вы прислали для рекурсивной пословицы «Иван и Петр», правильная только программа Алисы Левандовской, ученицы 4 «А» класса школы № 45 г. Москвы.

«Я составила рекурсивную программу по образцу рекурсивной арабской сказки. Иван попал в рекурсивную ситуацию.

Есть более короткий вариант этой программы:

А можно было и так.

А чтобы эта программа не зациклилась, то есть не повторяла одно и то же без конца, можно вставить после первой строчки «Иван кивает на Петра» новую команду:

Команда «СТОП», вставленная в любом месте, останавливает всю работу. Хорошо бы и в жизни так можно было прервать любое бесполезное занятие.

Двадцать спичек и монета 

Сережа с Чипом играли в увлекательную игру «Двадцать спичек и монета». Кладутся подряд 20 спичек и 21-й — монетка. Дальше играющие по очереди берут спички, рассчитывая так, чтобы последним ходом забрать монетку. Надо только соблюдать два правила: во-первых, монетку нельзя брать первым ходом, а, во-вторых, если противник взял сколько-то спичек, то следующим ходом ты не можешь взять больше, чем это удвоенное число. Например, если он взял 5 спичек, то ты не можешь взять больше 10.

Сережу этой игре научил Чип и потому все время давал ему первый ход как новичку. И тем не менее каждый раз Сережа проигрывал, хотя он обычно хорошо играл в такие игры. Кое-какие секреты игры он понял: например, что невыгодно брать много спичек первым ходом, а если возьмешь больше 6, то противник берет монетку ответным ходом. Сережа брал по одной спичке, и в ответ Чип брал по одной, иногда по 2. Но выигрывал почему-то все время Чип!

— А знаешь, что делает в таком случае программист? — сказал Чип после 15-го выигрыша подряд. — Если он не может понять, как работает программа с большими числами, он проверяет ее на маленьких.

— Знаю, ты мне это уже говорил, — сердито буркнул Сережа. — Только при чем тут программа? Это же игра, а не алгоритм.

— Это алгоритмическая игра: существует алгоритм выигрыша независимо от хода противника. Но самое удивительное, что выигрывает не тот, кто первым начинает! Так что ты ни в чем не виноват: я заманил тебя в ловушку.

— Как это, начинающий обязательно проигрывает? Так не может быть, у него же лишний ход.

— Ты был бы прав, если бы этим лишним ходом он мог не взять ни одной спички. Тогда он поставил бы противника в свое положение. Но по правилам он обязан в каждый ход сколько-то спичек взять, и как только он это сделает, он уходит от спасительного числа Фибоначчи — 21. А до следующего числа Фибоначчи — тринадцати — ему не дотянуть, тогда противник возьмет монетку ответным ходом.

— Что это еще за числа Фибоначчи?

— О-о, это замечательные числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Они тянутся до бесконечности, причем каждое следующее получается сложением двух предыдущих. Они так хорошо служат программистам — хотя средневековый итальянский математик Фибоначчи вряд ли мог на это рассчитывать, — что один неизвестный компьютерный поэт прославил числа Фибоначчи в стихах.

— Интересно было бы послушать, — вежливо сказал Сережа, хорошо зная, что Чипа хлебом не корми, а дай почитать свои стихи, которые он обычно приписывал неизвестным авторам.

— Ты знаешь печальную историю о Карле и Кларе?

— Это что, «Карл у Клары украл кораллы, а Клара у Карла украла кларнет»?

— Да, это про них. Грустно, когда друзья ссорятся. Так вот, они решили помириться, и первый шаг сделала Клара.