Досуги математические и не только. Книга 2

Правила для случая (1) могут быть выведены из вышеизложенного, принимая k = 1, а для случая (2) — принимая h = 1. Ниже я дам решённые примеры, а давать мысленные рассуждения здесь нужды нет.

Приняв k = 1, мы получаем делитель вида htⁿ + 1; выберем делители 11t⁴ – 1 и 6t⁵ + 1.

В этом последнем примере нет нужды вносить частное от деления 7239 на 7 в первый столбец; и так легко предвидеть, что число поверх второго столбца будет меньше нашего делителя, так что в первом столбце новых значений не появится; следовательно, мы сразу вносим 1206 в графу «Частное».

Принимая h = 1, получаем делители вида tⁿ ± k; возьмём делители t⁴ – 7 и t⁵ + 12.

Первую из этих двух задач я привёл для того, чтобы проиллюстрировать открытый мистером Коллингвудом способ решения для делителей вида tⁿ – k.

Читателю, возможно, интересно будет взглянуть на три способа решения вышеприведённого примера — обычное деление в столбик, способ мистера Коллингвуда и мою версию последнего — ради сравнения того количества усилий, которые каждый из них требует для своего решения:

Я предполагаю, что всякий, кто станет решать это пример обычным делением, начнёт с создания таблицы кратных числа 9993 для справок, так что совершать умножения ему не придётся. Тем не менее, большое количество сложений и вычитаний, которые ему придётся совершать, влекущее гораздо больший риск ошибиться, чем каждый из двух других способов, вполне перевесит это преимущество.

Но какая бы из упомянутых процедур не привлекалась для деления длинных чисел, весьма желательно получить быстро и легко применимый способ проверки правильности ответа. В обычном случае для проверки перемножают частное с делителем, прибавляют остаток и смотрят, не будет ли всё вместе, как это и положено, образовывать исходное число.

Так, если N– это данное число, D–делитель, Q–частное, а R — остаток, то должно получиться:

N = DQ + R.

Этот способ проверки особенно легко применим, когда D = htⁿ ± k, поскольку тогда должно быть:

N = (htⁿ ± k)Q + R = (hQtⁿ + R) ± kQ.

Теперь, hQtⁿ можно найти умножением Q на h с присоединением n нулей. Следовательно, выражение hQtⁿ + R находится подстановкой R на место этих n нулей. Если R содержит менее n цифр, недостающие вставляются перед ним нулями; если более, то избыточные следует перенести в следующий разряд и прибавить к hQ.

Вычислив наш «Критерий», то есть [значение выражения] hQtⁿ + R, мы можем записать его на отдельной полоске бумаги и поместить ниже решения нашего примера, так чтобы он пришёлся прямо под N, которое будет располагаться сверху. Когда при D стоит знак «–», нам следует прибавить kQ к N и посмотреть, равен ли результат нашему «Критерию»; когда же знак «+», следует прибавить kQ к «Критерию» и посмотреть, равен ли результат N.

Уже указывалось, что когда, при новом Способе, решены первый и второй столбцы, то первый период частного и число внизу второго столбца суть частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Следовательно, «Критерий» можно тут применить сразу, до переноса действия на третий столбец. Это составляет очень важную новую особенность моей версии способа мистера Коллингвуда. Каждые две соседствующие колонки содержат отдельную задачу на деление, которая может быть проверена сама по себе. Следовательно, как только, при решении моим способом, я внёс в графу «Частное» первый период, я могу её проверить и, в случае ошибки, исправить. Но тот злополучный вычислитель, который потратит, скажем, час времени, на деление некоего гигантского числа — обычным ли способом в столбик либо методом мистера Коллингвуда — и кому случится написать ошибочный результат на самом первом шагу, отчего и все последующие шаги оказываются неверны, — тот и не всполошится, пока не подойдёт к «горькому концу» и не начнёт проверять свой ответ. В то же время, следуя моей методике, он обратил бы внимание на ошибку почти тот час, как её сделал, и был бы в состоянии её исправить, пока не зашёл далеко.

В качестве пособия для читателя я целиком изложу ход рассуждения для второго и третьего столбцов первого из примеров, решённых выше.

Наш делитель есть число 6997 (где h = 7, k = 3). Здесь предполагается, что в графу «Частное» уже внесено 281. Делимое для этих двух столбцов есть 1972 | 103; частное 281, а остаток 5946. «Критерий» есть [выражение] hQtⁿ + R (то есть 7 × 281000 + 5946), и начало хода рассуждения таково. На отдельной полоске бумаги записываем последние три цифры R, а именно 946, и переносим 5 в следующий разряд, прибавляя её к 7 × 281  следующим образом. «5 и 7 будет 12». Вносим 2, 1 в уме. «1 и 56 будет 57». Вносим 7, 5 в уме. «5 и 14 будет 19». Вносим. Вычислив «Критерий», проверяем, равняется ли ему [выражение] N + kQ. Вычисляем это последнее, сравнивая его по мере продвижения с нашим «Критерием» цифра за цифрой следующим образом. «3 и 3 будет 6». Сравниваем с «Критерием». «0 и 24 будет 24». Сравниваем 4, 2 в уме. «3 и 6 будет 9». Сравниваем. «1972 и 0 будет 1972». Сравниваем. «Критерий» удовлетворён.

Для делителей вида tⁿ ± k нет нужды записывать «Критерий»: составляющие его числа уже находятся в решении и могут быть использованы на своих местах.

§1. Делитель вида (tⁿ ± 1)

Искомые способы были рассмотрены в §1 предыдущей главы как процедуры, предваряющие нахождение частного.

В случае делителей прочих обсуждаемых здесь видов способы, предназначенные для нахождения частного и остатка, пригодны, разумеется, и для нахождения одного лишь остатка; нам нужно будет рассмотреть здесь только те случаи, когда, коль скоро частное нам не требуется, эти способы поддаются сокращению.

§2. Делитель вида (ht ± 1)

А именно: те способы, что были рассмотрены в §1 предыдущей главы, могут быть здесь сокращены удалением всего письменного решения под двойной чертой.

Для примера такого сокращённого способа возьмём число 27910385642558361 в качестве делимого и найдём его «остаток-29» и «остаток-71».

В первом случае по решении установится вид:

ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 3 и прибавления частного, 9, к числу, образованному добавлением в качестве префикса остатка, 0, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «9 и 9 будет 18». Затем делим это 18 на 3 и прибавляем частное, 6, к числу, образованному добавлением в качестве префикса остатка, 0, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «6 и 1 будет 7». Затем говорим: «2 и 10 будет 12, 4 и 3 будет 7, 2 и 18 будет 20, 6 и 25 будет 31». Тут мы «отбрасываем» 29 и говорим: «что даёт 2». Объединяем её со следующей цифрой, 6, продолжая так: «8 и 24 будет 32, что даёт 3; 1 и 2 будет 3, 1 и 5 будет 6, 2 и 5 будет 7, 2 и 18 будет 20, 6 и 23 будет 29, что даёт 0; 2 и 1 будет 3, 1 и 2 будет 2».