Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

выражает сохранение массы жидкости: это гидродинамическое уравнение непрерывности. В нашем приближении, т. е. в при­ближении несжимаемой жидкости, плотность r постоянна и уравнение непрерывности превращается просто в

(С·v)=0. (40.3)

Дивергенция скорости жидкости v, как и магнитного поля В, равна нулю. (Гидродинамические уравнения очень часто ока­зываются аналогичными уравнениям электродинамики; вот почему мы сначала изучали электродинамику. Некоторые предпочитают другой путь, считая, что сначала следует изу­чать гидродинамику, чтобы потом было легче понять электри­чество. На самом же деле электродинамика гораздо проще, чем гидродинамика.)

Следующее уравнение мы получим из закона Ньютона; оно говорит нам, как происходит изменение скорости в результате действия сил. Произведение массы элемента объема жидко­сти на ускорение должно быть равно силам, действующим на этот элемент. Выбирая в качестве элемента объема единичный объем и обозначая силу, действующую на единичный объем, через f, получаем

rX(Ускорение)=f.

Плотность сил можно записать в виде суммы трех слагаемых. Одно из них, силу давления на единицу объема — (Сp), мы уже рассматривали. Но есть еще действующие на расстоянии «внеш­ние» силы, подобные тяжести или электричеству. Если эти силы консервативные с потенциалом, отнесенным к единице массы, равным j, то они приводят к плотности сил —r(Сj). (Если же внешние силы не консервативные, то мы вынуждены писать внешнюю силу, приходящуюся на единицу объема, как f_внешн.) Кроме нее, на единицу объема действует еще одна «внутренняя» сила, которая возникает из-за того, что в текущей жидкости могут действовать сдвиговые силы. Они называются силами вязкости, и мы будем обозначать их через f_вязк. Тогда наше уравнение движения приобретает вид

rX(Ускорение)=-( Сp)-r(Сj)+f_вязк. (40.4)

В этой главе мы будем предполагать, что наша вода «жид­кая» в том смысле, что ее вязкость несущественна, так что слагаемое f_вязк будет опускаться. Выбрасывая слагаемое с вяз­костью, мы делаем приближение, которое описывает некое иде­альное вещество, а не реальную воду. Об огромной разнице, возникающей в зависимости от того, оставляем ли мы слагаемое с вязкостью или нет, в свое время хорошо знал Джон фон Нейманн. Известно ему было и то, что во времена наибольшего расцвета гидродинамики, т. е. примерно до 1900 г., основные усилия были направлены на решение красивых математиче­ских задач в рамках именно этого приближения, которое ни­чего не имеет общего с реальными жидкостями. По­этому теоретиков, которые занимались подобными веществами, он называл людьми, изучающими «сухую воду». Они отбрасы­вали важнейшее свойство жидкости. Именно потому, что в этой главе мы при наших вычислениях тоже этим свойством будем пренебрегать, я озаглавил ее «Течение «сухой» воды». А обсуж­дение настоящей, «мокрой» воды мы отложим до следующей главы.

Если мы отбросим f_вязк, то в уравнении (40.4) все нам из­вестно, за исключением выражения для ускорения. Может показаться, что формула для ускорения частиц жидкости должна быть очень простой, ибо очевидно, что если v — ско­рость частицы в некотором месте жидкости, то ускорение ее будет просто равно дv//дt. Но это совсем неверно, и по довольно хитрой причине. Производная дv/дt выражает изменение ско­рости v (х, у, z, t) в фиксированной точке пространства. А нам нужно знать, как изменяется скорость данной капельки жидко­сти. Представьте, что мы пометили одну капельку воды цветной краской и можем наблюдать за ней. За маленький интервал времени At эта капелька продвинется в другое положение. Если капелька движется по некоторому пути, изображенному на фиг. 40.4, то за промежуток Dt она из точки Р₁переме­стится в точку Р₂.

Фиг. 40.4. Ускорение частицы жидкости.

Фактически в направлении оси х она пере­двинется на расстояние v_xDt, в направлении оси у — на рас­стояние v_уDt, а в направлении оси z — на расстояние v_zDt. Мы видим, что если v (х, у, z, t) — скорость частицы в момент t, то скорость той же самой частицы в момент t+Dt представ­ляет величину v (х+Dx, у+Dy, z+Dz, t+Dt), причем

Dx=v_xDt, Dy=v_yDt и Dz=v_zDt.

Из определения частных производных [вспомните уравнения гл. 2, вып. 5] мы с точностью до членов первого порядка получаем

Ускорение же Dv/Dt будет равно

Считая С вектором, это можно записать символически:

Обратите внимание, что, даже когда дv/дt=0, т. е. когда скорость в данной точке не изменяется, ускорение все же останется. Примером может служить вода, текущая с постоян­ной скоростью по кругу: она ускоряется даже тогда, когда ско­рость в данной точке не изменяется. Причина, разумеется, состоит в том, что скорость данной капельки воды, которая первоначально находилась в одной точке, моментом позднее будет иметь другое направление — это центростремительное ускорение.

Остальная часть нашей теории — чисто математическая: нахождение решения уравнения движения, полученного под­становкой ускорения (40.5) в (40.4), т. е.

где слагаемое с вязкостью уже выброшено. Воспользовав­шись известным тождеством из векторного анализа, это уравнение можно переписать по-другому:

Если определить новое векторное поле Wкак ротор скорости v, т. е.

то векторное тождество можно записать так:

а наше уравнение движения (40.6) примет вид

Вы можете проверить эквивалентность уравнений (40.6) и (40.8), расписывая их по компонентам и сравнивая их, восполь­зовавшись при этом выражением (40.7).

Если Wвсюду равно нулю, то такой поток мы называем безвихревым (или потенциальным). В гл. 3, § 5 (вып. 5), мы уже определяли величину, называемую циркуляцией векторного поля. Циркуляция по любой замкнутой петле в жидкости равна криволинейному интегралу от скорости жидкости в дан­ный момент времени вокруг этой петли:

Циркуляция на единицу площади для бесконечно малой петли по теореме Стокса будет тогда равна СXv. Таким образом, W представляет собой циркуляцию вокруг единичной площади (перпендикулярной направлению W). Кроме того, ясно, что если в любое место жидкости поместить маленькую соринку (именно соринку, а не бесконечно малую точку), то она будет вращаться с угловой скоростью W/2. Попытайтесь доказать это. Вы можете также попробовать доказать, что для ведра воды на вращающемся столике W равна удвоенной локальной угловой скорости воды.

Если нас интересует только поле скоростей, то из наших уравнений можно исключить давление. Взяв ротор обеих частей уравнения (40.8) и вспомнив, что r — величина постоян­ная, а ротор любого градиента равен нулю, а также использо­вав уравнение (40.3), находим