Термодинамика реальных процессов

   Ар = 1/Кр       (106)

Характеристики  Кр  и  Ар  в принципе отличны от характеристик  К  и  А . Неучет этого обстоятельства может привести к серьезным ошибкам, особенно если система находится вблизи нуля интенсиалов. Разницы между указанными характеристиками нет только в том гипотетическом частном случае, когда система располагает всего одной степенью свободы (см. формулы (60) и (105)).

Экстенсоры  dE  в уравнениях (54) и (100) имеют один и тот же смысл - они характеризуют количества переданных веществ. Что касается разностей  dP , то в первом случае они определяют изменение состояния системы, а во втором - те перепады или напоры, которые служат причиной переноса веществ. Естественно поэтому, что разности  dP  в уравнениях (54) и (100) не равны между собой.

Дифференциальное уравнение (100) связывает количества перенесенных веществ с имеющимися разностями интенсиалов, следовательно, его допустимо трактовать как некое обобщенное дифференциальное уравнение переноса. Согласно этому уравнению, количества перенесенных веществ  dE  пропорциональны разностям интенсиалов  dP , причем коэффициентами пропорциональности служат емкости  Кр , найденные при постоянных значениях интенсиалов. Эти емкости именуются обобщенными проводимостями [17, с.37; 18, с.142; 21, с.64]. Из выражений (100), (101) и (102) видно, что существуют два типа обобщенных проводимостей: основные, индексы которых составлены из одинаковых цифр, и перекрестные, их индексы содержат разные цифры. В частном случае из равенств (100) и (104) могут быть получены все известные уравнения переноса [ТРП, стр.139-141].

 3. Термодинамический поток и «сила».

Обобщенное дифференциальное уравнение переноса (100) весьма примечательно, ибо оно в самом общем виде описывает процесс распространения любого вещества, в том числе метрического и хронального, которые имеют отношение к пространству и времени. Но вопрос о пространстве и времени требует особого, более глубокого рассмотрения. Поэтому в настоящей главе мы ограничимся лишь приведением уравнения (100) к общепринятому виду, в котором пространство и время играют роль неких вспомогательных, опорных, эталонных характеристик.

Чтобы иметь возможность перейти к традиционной записи уравнения (100), необходимо вначале ввести понятия термодинамических потока и «силы», как это делается в термодинамике необратимых процессов. Для практических целей в работе [17, с.37-53] рекомендуются восемь различных основных вариантов выбора потоков и сил. Из них здесь рассматриваются четыре наиболее употребительных. В случае распространения метрического и хронального веществ приходится принимать во внимание также некоторую их специфику (см. параграфы 1 и 2 гл. XV).

Термодинамический поток, или просто поток, пропорционален количеству перенесенного вещества, характеризуемого экстенсором  dE . Наибольший практический интерес представляют два весьма характерных выражения для потока. В первом случае количество вещества dE относится к единице площади поверхности  dF  и единице времени  dt . Такой удельный поток обычно обозначается буквой  J . Имеем

    J = dE/(dFdt)       (107)

Во втором случае количество вещества относится только к единице времени и обозначается буквой  I . Получаем

   I = dE/dt       (108)

Потоки  J  и  I , характеризующие конкретные условия переноса, широко применяются на практике: первый поток наиболее известен в теории теплопроводности, второй - в электротехнике, где именуется силой тока.

Термодинамическая сила, или просто сила, ответственная за перенос вещества, пропорциональна разности интенсиалов (об этом уже говорилось). Применительно к силе тоже предусмотрены два характерных варианта, отражающих конкретные условия переноса. В первом случае сила обозначается через  X , она представляет собой напор интенсиала  ?? , определяемый формулой (96). Имеем

Х = - ?Р = - (Рс – Рп)     (109)

Вторая конкретная сила, обозначаемая буквой  ? , представляет собой градиент интенсиала  dР/dх , то есть

Y = - dP/dx       (110)

Знак минус в правых частях равенств (109) и (110) свидетельствует о том, что вещество распространяется от большего значения интенсиала к меньшему, при этом разности  ?Р  и  dP  оказываются отрицательными. Но потоки веществ  J  и  I , а следовательно, и силы  X  и  ?  должны быть положительными. Поэтому знак минус компенсирует отрицательные значения разностей  ??  и  dP .

Заметим, что термин «термодинамическая сила», или «сила», является общепринятым в термодинамике необратимых процессов. Однако он ничего общего не имеет с истинным понятием силы. Именно поэтому упомянутый термин был заключен нами в кавычки. В дальнейшем кавычки опускаются, но нужно не забывать об имеющейся в этом термине условности. Теперь мы располагаем уже тремя сходными по названию понятиями: сила, специфическая сила (интенсиал) и термодинамическая сила (разность или градиент интенсиала). Только первое понятие является силой в истинном смысле этого слова, два других понятия - это условные силы, они связаны с истинной силой соотношениями (94) и (97). Еще более условный смысл имеет понятие сила тока в электротехнике. Отметим также, что в принятых равенствах (107)-(110) по традиции в качестве опорных, эталонных использованы следующие пространственные и временные характеристики: площадь  F , протяженность  х  и время  t  [ТРП, стр.141-142].

 4. Четыре частных уравнения переноса.

Воспользуемся теперь конкретными потоками  J  и  I  и силами  X  и  ?  и преобразуем обобщенное уравнение (100) к виду, удобному для практического использования. При этом всего получаются четыре частных варианта дифференциальных уравнений переноса, ибо каждый из потоков  J  и  I  может сочетаться с каждой из сил  X  и  ? .

В первом варианте сочетаются поток  J  и сила  X . В простейших условиях двух степеней свободы (n = 2) из выражений (100), (107) и (109), заменив разность  dP  на  ?Р , получим

   J1 = ?11X1 + ?12X2      (111)

   J2 = ?21X1 + ?22X2

 где

   ?11 = - KP11(1/(dFdt)) ;   ?22 = - KP22(1/(dFdt))    (112)

   ?12 = - KP12(1/(dFdt)) ;   ?21 = - KP21(1/(dFdt))    (113)

В   гипотетических частных условиях, когда  n = 1, имеем

    J = ?X        (114)

 где

    ?  = - К(1/(dFdt))      (115)

В уравнениях переноса (111) и (114) величина  ?  представляет собой частную проводимость, которая играет роль, например, коэффициента отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В частном случае из равенства (114) получается известное уравнение закона теплообмена на поверхности тела Ньютона (см. параграф 2 гл. XX).

Во втором варианте сочетаются поток  I  и сила  X . Ограничиваясь двумя степенями свободы (n = 2), из выражений (100), (108) и (109)  находим

   I1 = ?11X1 + ?12X2      (116)

   I2 = ?21X1 + ?22X2

где

    ?11 = - KP11(1/dt) ;   ?22 = - KP22(1/dt)     (117)

    ?12 = - KP12(1/dt) ;   ?21 = - KP21(1/dt)    (118)

 При  n = 1 получаем

    I = ?X        (119)

 где

    ? = K(1/dt)       (120)

В уравнениях переноса (116) и (119) частная проводимость  ?  есть, например, коэффициент отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В отличие от коэффициента  ? , относящегося к единице площади поверхности, величина ? относится к поверхности в целом.

В третьем варианте сочетание потока  J  и силы  ?  при двух степенях свободы (n = 2) позволяет получить из выражений (100), (107) и (110) следующее частное дифференциальное уравнение переноса:

   J1 = L11Y1 + L12Y2      (121)

   J2 = L21Y1 + L22Y2

 где

   L11 = - KP11(dx/(dFdt)) ;   L22 = - KP22(dx/(dFdt))   (122)

   L12 = - KP12(dx/(dFdt)) ;   L21 = - KP21(dx/(dFdt))   (123)

 При  n = 1 имеем

    J = LY        (124)

 где

    L = - K (dx/(dFdt))      (125)

В уравнениях (121) и (124) коэффициент  L  представляет собой удельную проводимость системы по отношению к веществу. В частных случаях выражение (124) дает известные уравнения законов теплопроводности Фурье, электропроводности Ома, диффузии Фика и фильтрации Дарси [17, 18, 21].