Эврика! Радость открытия. Архимед

Шаг 1. Отверстие закрывается, и резервуар наполняется водой так, чтобы при опускании в него тела вода не перелилась через край.

Шаг 2. В резервуар погружается золотой слиток, по весу равный короне.

Шаг 3. Отверстие открывается, и вода вытекает через него, пока не перестанет течь.

Шаг 4. Слиток вынимается, и отверстие закрывается.

Шаг 5. В резервуар погружается корона.

Шаг 6. Отверстие открывается. Если вода вытекает из него, это значит, что корона по объему больше золотого слитка, то есть изготовлена из сплава и содержит другое вещество. Если вода доходит только до уровня отверстия, значит корона золотая.

Опытным путем доказано, что таким способом можно измерить разницу в 10 см³ — это и есть примерно тот объем, о котором идет речь. В любом случае в рассказе Витрувия ничего не говорится об использованных Архимедом средствах, а значит, у нас нет доказательств того, что он воспользовался именно таким методом. Тем не менее применение обоих упомянутых способов (замер высоты воды и клепсидра) вполне можно себе представить в эпоху Архимеда. Но любой исследователь в своей работе старается опираться на тексты самого математика, а не только на вторичные источники, как в случае с Витрувием или последующей литературой. Поэтому утверждение, что приведенные римским архитектором сведения могут быть и неверными, вовсе не означает презрения к таланту Архимеда; как раз наоборот, поскольку можно сделать предположение, что его гений пошел еще дальше. Ведь мы упоминали о его трудах, посвященных рычагу. Почему бы ему не использовать данный принцип и для решения задачи с короной? Давайте рассмотрим предположение, которое выдвигают многие специалисты. Как мы показали предыдущими расчетами, 1000 г чистого золота и корона весом 1000 г вытесняют разное по объему количество воды, а значит, разное и по массе. Мог ли Архимед измерить разницу в количестве воды в 13 г? Да, мог, но не измерением уровня воды и не методом клепсидры. Он мог бы измерить ее с помощью равноплечих весов, которые ученый применял на протяжении всей жизни.

Ктесибий из Александрии (285-222 до н. э.) в наше время считается отцом пневматики, так как он написал первый научный трактат о сжатом воздухе и использовании пневматических насосов. Список приписываемых ему изобретений и открытий включает в себя водяной орган, научное обоснование сифона и клепсидру: то есть он создал отличающиеся невиданной по тем временам точностью водяные часы, работа которых была основана на вытекавшей в специальное отверстие воде.

Реконструкция клепсидры конца V века до н. э. (фото: Marsyas).

В целом идея такова: если с двух сторон равноплечих весов разместить килограммовый слиток золота и килограммовую же корону, то весы, естественно, останутся в равновесии (рисунок 1).

Но если те же предметы будут при этом погружены в воду, весы больше не будут в равновесии, так как их вес в воде окажется разным (рисунок 2). Почему? Потому что согласно закону гидростатики выталкивающая сила, действующая на тело, равна весу вытесненной воды, который будет разным у двух предметов с разными объемами. То есть предмет с большим объемом (корона) в воде станет легче, чем предмет с меньшим объемом (слиток), так что весы наклонятся в сторону золотого слитка.

И такая процедура представляется вполне возможной для Архимеда, учитывая список его работ. Нужны были только жидкая среда и весы с достаточной чувствительностью, чтобы реагировать на разницу в несколько граммов, а все это в его распоряжении было. В самом деле, такие ученые, как Галилей, продемонстрировали, что данный метод работает.

РИС. 1

РИС. 2

Тело будет плавать на поверхности жидкости, если его плотность меньше плотности жидкости; станет тонуть, если его плотность выше; и останется висеть в равновесии, если их плотности равны. Это всем известное правило, впервые сформулированное Архимедом, можно продемонстрировать с помощью динамических процессов, сравнив выталкивающую силу среды и вес объекта, помещенного в нее. Если читатель в какой-то момент запутается, он может просто пропустить следующие строки, написанные только для того, чтобы изложить идеи Архимеда современным языком.

С водой связана интересная аномалия, из-за которой, собственно, и возможно существование океанов и в целом жизнь на Земле: в твердом состоянии ее плотность меньше, чем в жидком. Это значит, что лед может плавать на поверхности воды. Так происходит, к примеру, с айсбергами. Слово «айсберг» пришло из голландского языка через английский и означает «ледяная гора». Речь идет о гигантских кусках замерзшей пресной воды, дрейфующих в океане и постепенно опускающихся к низким широтам, куда их влекут течения. Значительная часть айсберга погружена в воду. При этом вес айсберга (Р) равен выталкивающей силе воды (Е), в которую он погружен и которая равна весу воды, вытесненной погруженной частью айсберга. Объем этой воды обозначим как (V_s).

Действующая на айсберг выталкивающая сила равна Е = V_s • d_a • g, где d_a — плотность соленой воды. С другой стороны, вес всего айсберга равен P=V_c • d_l • g, где d_l — плотность айсберга, a V_c — объем всего айсберга. Чтобы узнать соотношение видимой и подводной частей айсберга, достаточно вычислить отношение V_s/V_c. Нужно просто разделить выталкивающую силу на вес, учитывая, что они равны (Е = Р), так как айсберг находится в равновесии.

Надо отметить, что соотношение между погруженной частью айсберга и всем его объемом будет равно соотношению плотности айсберга и плотности воды, в которой он плавает. Плотность айсберга (то есть пресной воды в твердом состоянии) равна 0,92 г/см³, а плотность морской воды может различаться (зависит от ее температуры и степени солености), так что возьмем ее среднее значение: 1,03 г/см³.

Доля объема подводной части = 0,92/1,03 • 100 = 89,3 %.

Таким образом, подводная часть айсберга составляет почти 90 % от его объема.

Айсберги существуют благодаря тому, что вода в твердом состоянии имеет меньшую плотность, чем вода океанов. Если было бы иначе, то лед скапливался бы на дне.

Здесь будут приведены математические выкладки, базирующиеся на следующих величинах:

m_c — масса тела;

m_a — масса вытесненной воды (или другой среды);