-->

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

На нашем литературном портале можно бесплатно читать книгу Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света, Альберти Микель-- . Жанр: Математика. Онлайн библиотека дает возможность прочитать весь текст и даже без регистрации и СМС подтверждения на нашем литературном портале bazaknig.info.
Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
Название: Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
Дата добавления: 16 январь 2020
Количество просмотров: 286
Читать онлайн

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света читать книгу онлайн

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - читать бесплатно онлайн , автор Альберти Микель
В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна. Эта книга — способ совершить математическое путешествие вокруг света и узнать много нового о культурах разных народов.

Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних чтение данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту [email protected] для удаления материала

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 32 ВПЕРЕД
Перейти на страницу:
Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _31.jpg

Численное решение основано на применении теоремы Пифагора или определении числа, которое при возведении в квадрат дает 2. В самом деле, какова длина стороны квадрата х, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной с? Посмотрим:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _32.jpg

Шульба-Сутры также содержат описание алгоритмического метода вычисления квадратного корня из 2 путем последовательных приближений. Согласно этому методу, нужно добавить к длине стороны ее треть, затем — четвертую часть трети и, наконец, вычесть 30-ю часть четвертой части трети стороны. Иными словами, обозначив через с длину стороны квадрата, который нужно удвоить, имеем:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _33.jpg

Выполнив указанные операции, вы увидите, что полученный результат — прекрасное приближение квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _34.jpg

Позднее, в XV веке, к этому числу были добавлены еще два члена, и в результате оно стало равняться корню из 2 с точностью до семи знаков:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _35.jpg

Откуда взялись эти цифры и число 34, в Шульба-Сутрах ничего не сказано. В них, как и во многих других математических текстах, зафиксированы лишь ответы, а не пути к решениям. Существует гипотеза, согласно которой индийский алгоритм вычисления корня из 2 основан на методе, известном еще вавилонянам. Мы уже показали, что им удалось с удивительной точностью вычислить длину диагонали квадрата, но нам ничего не известно о том, какой метод они при этом использовали и был он алгебраическим или геометрическим.

Как математики воссоздают творческий процесс решения задачи? Нужно провести некий воображаемый путь, выбрав в качестве начала точку, к которой пришел тот, кто решил задачу. Если мы узнаем, о чем думал автор решения, зафиксированного в Шульба-Сутрах, указанные дроби и числа обретут смысл.

Среди наиболее вероятных объяснений — теория индийского математика Датты, жившего в первой трети XX века. Начнем с того, что приближенное значение корня из 2 получается при помощи числовой последовательности, которая начинается с единицы (такова длина стороны квадрата):

{1, 1,33333, 1,41467, 1,4142157, 1,4142135 } — > √2.

Длина стороны квадрата и его площадь равны единице. Так как на первом шаге мы прибавляем к единице одну треть, разделим квадрат на три равные части. Получим три прямоугольника. Обозначим два первых прямоугольника через А и В и разделим третий прямоугольник на три равные части. Каждая из этих частей будет представлять собой квадрат. Обозначим верхний квадрат через С и разделим два нижних на четыре части каждый. Получим рисунок.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _36.jpg

Имеем одиннадцать фигур (А, В, С и восемь маленьких прямоугольников). Расположим их вокруг исходного квадрата следующим образом.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _37.jpg_0

Заполнив пустой угол, получим новый квадрат. Его площадь будет больше площади искомого удвоенного квадрата на величину площади этого пустого угла, так как площадь добавленных фигур равна исходному квадрату. Заметим, что если мы добавим к этой фигуре небольшой квадрат в углу, то площадь полученного квадрата будет в точности совпадать с той, что указана в Шульба-Сутрах:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _38.jpg

Датта объясняет использование дроби 1/(3·4·34) с алгебраической точки зрения, свойственной скорее западной математике. По его мнению, пустой угол фигуры — это излишек, который распределяется между двумя ограничивающими его сторонами. Иными словами, этот пустой угол (его площадь равна 1/122) делится на два прямоугольника и новый пустой угол со стороной х, которые мы «отрежем» от верхней и правой боковой стороны фигуры:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _39.jpg

Далее Датта заключает, что площадь нового пустого угла, квадратика со стороной х, пренебрежимо мала, и выполняется соотношение:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _40.jpg

Возможно, именно так рассуждал индийский автор Шульба-Сутр, однако приведенные алгебраические методы и пренебрежение малыми величинами кажутся не слишком уместными при поиске все более точных значений. Чтобы поставить себя на место индийского автора и понять ход его рассуждений, нужно найти геометрическое обоснование этого необычного знаменателя, то есть числа 34. Разделим квадратный пустой угол со стороной 1/12 на столько частей, сколько раз этот квадрат укладывается на верхней и правой сторонах фигуры, то есть на 16 + 16 = 32 части. Отсечем от каждого из 16 квадратиков, расположенных вдоль стороны фигуры, полосу шириной 1/(12·32) и получим новый многоугольник, вписанный в квадрат. Длина стороны этого многоугольника будет равна:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _41.jpg

Площадь этого квадрата намного ближе к искомому значению:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _42.jpg

Число 34 по-прежнему не появляется. Поступим иначе: вместо того чтобы уменьшить стороны изображенного выше неправильного многоугольника, рассечем квадрат со стороной 1 + 1/3 + 1/12 вдоль верхней и правой стороны. На каждой из них маленький квадратик в углу укладывается ровно 17 раз.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _43.jpg

Разрежем этот маленький квадратик на 34 полосы, а затем отсечем 17 полос из верхней и столько же — из правой стороны большого квадрата. Мы исключили излишек в форме маленького квадрата, длина стороны которого равна: 1/(12·34)

Полученная фигура вновь будет неправильным многоугольником, вписанным в квадрат. Длина стороны этой фигуры в точности равна приближенному значению, приведенному в Шульба-Сутрах.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _44.jpg

По всей видимости, если мы отбросим 34 квадратика, это будет слишком много, если отбросим 33 — слишком мало, чем и объясняется чередование чисел 33 и 34 в последующих приближенных значениях, полученных по индийскому методу:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _45.jpg

В продолжение рассуждений, параллельных индийскому методу, заметим: если разделить исходный квадрат не на три, а на пять частей, то первое приближение будет более точным.

Подобная схема рассуждений не вписывается в евклидову геометрию. Несмотря на всю ее логичность, эти рассуждения не основаны на аксиомах и не приводят к доказательству уже известного результата. Мы видим перед собой не теорему, доказательство и вывод, а поиск некоторого объекта, природу которого мы узнаем лишь по мере приближения к нему.

Математика как культурный феномен

Математическая мысль усложняется в культурах, которым известна письменность, и напрямую связывается с ней. Мы гораздо больше знаем о тех культурах, от которых до нас дошли письменные свидетельства.

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 32 ВПЕРЕД
Перейти на страницу:
Комментариев (0)
название